专题07 坐标系与参数方程-十年（ 2012-2021年）高考真题数学（理）解答题分类汇编

专题7、坐标系与参数方程 【2021年乙卷】安徽、河南、山西、江西、甘肃、陕西、黑龙江、吉林、宁夏、新疆、青海、内蒙古 [选修4-4：坐标系与参数方程]（10分） 1. 在直角坐标系 中，圆心为 ，半径为1． （1）写出 的一个参数方程; （2）过点 作 的两条切线．以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，求这两条切线的极坐标方程． 【答案】（1） ，（ 为参数）；（2） 或 . 【解析】 【分析】（1）直接利用圆心及半径可得的圆的参数方程； （2）先求得过（4，1）的圆的切线方程，再利用极坐标与直角坐标互化公式化简即可. 【详解】（1）由题意， 的普通方程为 ， 所以 的参数方程为 ，（ 为参数） （2）由题意，切线的斜率一定存在，设切线方程为 ，即 ， 由圆心到直线的距离等于1可得 ， 解得 ，所以切线方程为 或 ， 将 ， 代入化简得 或 【点晴】本题主要考查直角坐标方程与极坐标方程的互化，涉及到直线与圆的位置关系，考查学生的数学运算能力，是一道基础题. 【2021年甲卷】贵州、云南、四川、西藏、广西 [选修4-4：坐标系与参数方程]（10分） 2. 在直角坐标系 中，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为 ． （1）将C的极坐标方程化为直角坐标方程； （2）设点A的直角坐标为 ，M为C上的动点，点P满足 ，写出Р的轨迹 的参数方程，并判断C与 是否有公共点． 【答案】（1） ；（2）P的轨迹 的参数方程为 （ 为参数），C与 没有公共点. 【解析】 【分析】（1）将曲线C的极坐标方程化为 ，将 代入可得； （2）设 ，设 ，根据向量关系即可求得P的轨迹 的参数方程，求出两圆圆心距，和半径之差比较可得. 【详解】（1）由曲线C的极坐标方程 可得 ， 将 代入可得 ，即 ， 即曲线C的直角坐标方程为 ； （2）设 ，设 EMBED Equation.DSMT4 ， ， 则 ，即 ， 故P的轨迹 的参数方程为 （ 为参数） 曲线C的圆心为 ，半径为 ，曲线 的圆心为 ，半径为2， 则圆心距为 ， ， 两圆内含， 故曲线C与 没有公共点. 【点睛】关键点睛：本题考查参数方程的求解，解题的关键是设出 的参数坐标，利用向量关系求解. 【2020年】 3.（2020·新课标Ⅰ）在直角坐标系 中，曲线 的参数方程为 EMBED Equation.DSMT4 为参数 ．以坐标原点为极点， 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 的极坐标方程为 ． （1）当 时， 是什么曲线？ （2）当 时，求 与 的公共点的直角坐标． 【答案】（1）曲线 表示以坐标原点为圆心，半径为1的圆；（2） . 【解析】（1）当 时，曲线 的参数方程为 为参数）， 两式平方相加得 ， 所以曲线 表示以坐标原点为圆心，半径为1的圆； （2）当 时，曲线 的参数方程为 为参数）， 所以 ，曲线 的参数方程化为 为参数）， 两式相加得曲线 方程为 ， 得 ，平方得 ， 曲线 的极坐标方程为 ， 曲线 直角坐标方程为 ， 联立 方程 ， 整理得 ，解得 或 （舍去）， ， 公共点的直角坐标为 . 4.（2020·新课标Ⅱ）已知曲线C1，C2的参数方程分别为C1： （θ为参数），C2： （t为参数）. （1）将C1，C2的参数方程化为普通方程； （2）以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系.设C1，C2的交点为P，求圆心在极轴上，且经过极点和P的圆的极坐标方程. 【答案】（1） ； ；（2） . 【解析】（1）由 得 的普通方程为： ； 由 得： ，两式作差可得 的普通方程为： . （2）由 得： ，即 ； 设所求圆圆心的直角坐标为 ，其中 ， 则 ，解得： ， 所求圆的半径 ， 所求圆的直角坐标方程为： ，即 ， 所求圆的极坐标方程为 . 【点睛】本题考查极坐标与参数方程的综合应用问题，涉及到参数方程化普通方程、直角坐标方程化极坐标方程等知识，属于常考题型. 5.（2020·新课标Ⅲ）在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为 （t为参数且t≠1），C与坐标轴交于A、B两点． （1）求 ； （2）以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，求直线AB的极坐标方程． 【答案】（1） （2） 【解析】（1）令 ，则 ，解得 或 （舍），则 ，即 . 令 ，则 ，解得 或 （舍），则 ，即 ； （2）由（1）可知 ， 则直线 的方程为 ，即 . 由 可得，直线 的极坐标方程为 . 6.（2020·江苏卷）在极坐标系中，已知点 在直线 上，点 在圆 上（其中 ， ）． （1）求 ， 的值 （2）求出直线 与圆 的公共点的极坐标． 【答案】（1） （2） 【解析】（1）以极点为原点，极轴为 轴的正半轴，建立平面直角坐标系，