专题06 函数与导数综合1-十年（ 2012-2021年）高考真题数学（理）解答题分类汇编

专题6（1）、函数与导数综合 【2021年乙卷】安徽、河南、山西、江西、甘肃、陕西、黑龙江、吉林、宁夏、新疆、青海、内蒙古 1.. 设函数 ，已知是函数 的极值点． （1）求a； （2）设函数 ．证明: ． 【答案】（1） ；（2）证明见详解 【解析】 【分析】（1）由题意求出 ，由极值点处导数为0即可求解出参数 ； （2）由（1）得 ， 且 ，分类讨论 和 ，可等价转化为要证 ，即证 在 和 上恒成立，结合导数和换元法即可求解 【详解】（1）由 ， ， 又 是函数 的极值点，所以 ，解得 ； （2）由（1）得 ， ， 且 ， 当 时，要证 ， ， ，即证 ，化简得 ； 同理，当 时，要证 ， ， ，即证 ，化简得 ； 令 ，再令 ，则 ， ， 令 ， ， 当 时， ， 单减，假设 能取到，则 ，故 ； 当 时， ， 单增，假设 能取到，则 ，故 ； 综上所述， 在 恒成立 【点睛】本题为难题，根据极值点处导数为0可求参数 ，第二问解法并不唯一，分类讨论对函数进行等价转化的过程，一定要注意转化前后的等价性问题，构造函数和换元法也常常用于解决复杂函数的最值与恒成立问题. 【2021年甲卷】贵州、云南、四川、西藏、广西 2. 已知 且 ，函数 ． （1）当 时，求 的单调区间； （2）若曲线 与直线 有且仅有两个交点，求a取值范围． 【答案】（1） 上单调递增； 上单调递减；（2） . 【解析】 【分析】（1）求得函数的导函数，利用导函数的正负与函数的单调性的关系即可得到函数的单调性； （2）利用指数对数的运算法则，可以将曲线 与直线 有且仅有两个交点等价转化为方程 有两个不同的实数根，即曲线 与直线 有两个交点，利用导函数研究 的单调性，并结合 的正负，零点和极限值分析 的图象，进而得到 ，发现这正好是 ，然后根据 的图象和单调性得到 的取值范围. 【详解】（1）当 时， , 令 得 ,当 时， ,当 时， , ∴函数 在 上单调递增； 上单调递减； （2） ,设函数 , 则 ,令 ，得 , 在 内 , 单调递增； 在 上 , 单调递减； , 又 ，当 趋近于 时， 趋近于0， 所以曲线 与直线 有且仅有两个交点，即曲线 与直线 有两个交点的充分必要条件是 ,这即是 , 所以 的取值范围是 . 【点睛】本题考查利用导数研究函数的单调性，根据曲线和直线的交点个数求参数的取值范围问题，属较难试题，关键是将问题进行等价转化，分离参数，构造函数，利用导数研究函数的单调性和最值，图象，利用数形结合思想求解. 【2021年新课标1卷】山东、广东、河北、江苏、湖北、湖南、福建 3. 已知函数 . （1）讨论 的单调性； （2）设 ， 为两个不相等的正数，且 ，证明： . 【答案】（1） 的递增区间为 ，递减区间为 ；（2）证明见解析. 【解析】 【分析】（1）求出函数的导数，判断其符号可得函数的单调区间； （2）设 ，原不等式等价于 ，前者可构建新函数，利用极值点偏移可证，后者可设 ，从而把 转化为 在 上的恒成立问题，利用导数可证明该结论成立. 【详解】（1）函数的定义域为 ， 又 ， 当 时， ，当 时， ， 故 的递增区间为 ，递减区间为 . （2）因为 ，故 ，即 ， 故 ， 设 ，由（1）可知不妨设 . 因为 时， ， 时， ， 故 . 先证： ， 若 ， 必成立. 若 ， 要证： ，即证 ，而 ， 故即证 ，即证： ，其中 . 设 ， 则 EMBED Equation.DSMT4 ， 因为 ，故 ，故 ， 所以 ，故 在 为增函数，所以 ， 故 ，即 成立，所以 成立， 综上， 成立. 设 ，则 ， 结合 ， 可得： ， 即： ，故 ， 要证： ，即证 ，即证 ， 即证： ，即证： ， 令 ， 则 ， 先证明一个不等式： . 设 ，则 ， 当 时， ；当 时， ， 故 在 上为增函数，在 上为减函数，故 ， 故 成立 由上述不等式可得当 时， ，故 恒成立， 故 在 上为减函数，故 ， 故 成立，即 成立. 综上所述， . 【点睛】方法点睛：极值点偏移问题，一般利用通过原函数的单调性，把与自变量有关的不等式问题转化与原函数的函数值有关的不等式问题，也可以引入第三个变量，把不等式的问题转化为与新引入变量有关的不等式问题. 【2021年浙江卷】 4. 设a，b为实数，且 ，函数 （1）求函数 的单调区间； （2）若对任意 ，函数 有两个不同的零点，求a的取值范围； （3）当 时，证明：对任意 ，函数 有两个不同的零点 ，满足 . (注： 是自然对数的底数) 【答案】(1) 时， 在 上单调递增； 时，函数的单调减区间为 ，单调增区间为 ； (2) ； (3)证明见解析. 【解析】 【分析】(1)首先求得导函数的解析式，然后