专题04 立体几何综合-十年（ 2012-2021年）高考真题数学（理）解答题分类汇编

专题4、立体几何综合 【2021年乙卷】安徽、河南、山西、江西、甘肃、陕西、黑龙江、吉林、宁夏、新疆、青海、内蒙古 1. 如图，四棱锥 的底面是矩形，底面 ， ， 为 的中点，且 ． （1）求 ； （2）求二面角 的正弦值． 【答案】（1） ；（2） 【解析】 【分析】（1）以点 为坐标原点， 、 、 所在直线分别为 、 、 轴建立空间直角坐标系，设 ，由已知条件得出 ，求出 的值，即可得出 的长； （2）求出平面 、 的法向量，利用空间向量法结合同角三角函数的基本关系可求得结果. 【详解】（1） 平面 ，四边形 为矩形，不妨以点 为坐标原点， 、 、 所在直线分别为 、 、 轴建立如下图所示的空间直角坐标系 ， 设 ，则 、 、 、 、 ， 则 ， ， ，则 ，解得 ，故 ； （2）设平面 法向量为 ，则 ， ， 由 ，取 ，可得 ， 设平面 的法向量为 ， ， ， 由 ，取 ，可得 ， ， 所以， ， 因此，二面角 的正弦值为 . 【点睛】思路点睛：利用空间向量法求解二面角的步骤如下： （1）建立合适的空间直角坐标系，写出二面角对应的两个半平面中对应的点的坐标； （2）设出法向量，根据法向量垂直于平面内两条直线的方向向量，求解出平面的法向量（注：若半平面为坐标平面，直接取法向量即可）； （3）计算（2）中两个法向量的余弦值，结合立体图形中二面角的实际情况，判断二面角是锐角还是钝角，从而得到二面角的余弦值. 【2021年甲卷】贵州、云南、四川、西藏、广西 2. 已知直三棱柱 中，侧面 为正方形， ，E，F分别为 和 的中点，D为棱 上的点． （1）证明： ； （2）当 为何值时，面 与面 所成的二面角的正弦值最小? 【答案】（1）见解析；（2） 【解析】 【分析】通过已知条件，确定三条互相垂直的直线，建立合适的空间直角坐标系，借助空间向量证明线线垂直和求出二面角的平面角的余弦值最大，进而可以确定出答案． 【详解】因为三棱柱 是直三棱柱，所以 底面 ，所以 因为 ， ，所以 ， 又 ，所以 平面 ． 所以 两两垂直． 以 为坐标原点，分别以 所在直线为 轴建立空间直角坐标系，如图． 所以 ， ． 由题设 （ ）． （1）因为 ， 所以 ，所以 ． （2）设平面 的法向量为 ， 因为 ， 所以 ，即 ． 令 ，则 因为平面 的法向量为 ， 设平面 与平面 的二面角的平面角为 ， 则 ． 当 时， 取最小值为 ， 此时 取最大值为 ． 所以 ， 此时 ． 【点睛】本题考查空间向量的相关计算，能够根据题意设出 （ ），在第二问中通过余弦值最大，找到正弦值最小是关键一步． 【2021年新课标1卷】山东、广东、河北、江苏、湖北、湖南、福建 3. 如图，在三棱锥 中，平面 平面 ， ， 为 的中点. （1）证明： ； （2）若 是边长为1的等边三角形，点 在棱 上， ，且二面角 的大小为 ，求三棱锥 的体积. 【答案】(1)详见解析(2) 【解析】 分析】（1）根据面面垂直性质定理得AO⊥平面BCD，即可证得结果； （2）先作出二面角平面角，再求得高，最后根据体积公式得结果. 【详解】（1）因为AB=AD,O为BD中点，所以AO⊥BD 因为平面ABD 平面BCD ,平面ABD⊥平面BCD， 平面ABD， 因此AO⊥平面BCD， 因为 平面BCD，所以AO⊥CD (2)作EF⊥BD于F, 作FM⊥BC于M,连FM 因为AO⊥平面BCD，所以AO⊥BD, AO⊥CD 所以EF⊥BD, EF⊥CD, ,因此EF⊥平面BCD，即EF⊥BC 因为FM⊥BC， ,所以BC⊥平面EFM，即BC⊥MF 则 为二面角E-BC-D的平面角, 因为 , 为正三角形,所以 为直角三角形 因为 , 从而EF=FM= 平面BCD, 所以 【点睛】二面角的求法：一是定义法，二是三垂线定理法，三是垂面法，四是投影法. 【2021年浙江卷】 4. 如图，在四棱锥 中，底面 是平行四边形， ，M，N分别为 的中点， . （1）证明： ； （2）求直线 与平面 所成角的正弦值. 【答案】（1）证明见解析；（2） ． 【解析】 【分析】（1）要证 ，可证 ，由题意可得， ，易证 ，从而 平面 ，即有 ，从而得证； （2）取 中点 ，根据题意可知， 两两垂直，所以以点 为坐标原点，建立空间直角坐标系，再分别求出向量 和平面 的一个法向量，即可根据线面角的向量公式求出． 【详解】（1）在 中， ， ， ，由余弦定理可得 ， 所以 ， EMBED Equation.DSMT4 ．由题意 且 ， 平面 ，而 平面 ，所以 ，又 ，所以 ． （2）由 ， ，而 与 相交，所以 平面 ，因为 ，所以 ，取 中点 ，连接 ，则 两两垂直，以点 为坐标原点，如图所示，建立空间直