第十五讲 角平分线的判定 -【暑假辅导班】2021年新八年级数学上册暑假精品课程（人教版）

第十五讲 角平分线的判定 【学习目标】 1.理解角平分线判定定理. 2.掌握角平分线判定定理内容的证明方法并应用其解题. 3.学会判断一个点是否在一个角的平分线上. 【新课讲解】 知识点1：角平分线的判定定理 1.定理语言表述：角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上。 2.定理的几何表述： ∵ PD⊥OA,PE⊥OB，PD=PE. ∴点P 在∠AOB的平分线上. 3.应用所具备的条件： （1）位置关系：点在角的内部； （2）数量关系：该点到角两边的距离相等. 4.定理的作用：判断点是否在角平分线上。 5.定理的证明： 已知：如图，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别是D、E，PD=PE.求证：点P在∠AOB的角平分线上. 证明：作射线OP，∵PD⊥OA,PE⊥OB. ∴∠PDO=∠PEO=90 在Rt△PDO和Rt△PEO 中， ∴Rt△PDO≌Rt△PEO（ HL）. ∴∠AOP=∠BOP （全等三角形的对应角相等） ∴点P在∠AOB 角的平分线上. 知识点2：三角形的内角平分线 结论：三角形的三条角平分线交于一点，并且这点到三边的距离相等. 已知：如图，△ABC的角平分线BM，CN相交于点P， 求证：点P到三边AB，BC，CA的距离相等. 证明：过点P作PD，PE，PF分别垂直于AB，BC，CA，垂足分别为D，E，F. ∵BM是△ABC的角平分线， 点P在BM上， ∴PD=PE.同理PE=PF. ∴PD=PE=PF. 即点P到三边AB，BC，CA的距离相等. 角平分线的判定问题新课程过关检测 满分100分，答题时间60分钟 一、选择题（本题6小题，每小题4分，共24分） 1．已知：如图，点P在线段AB外，且PA=PB，求证：点P在线段AB的垂直平分线上，在证明该结论时，需添加辅助线，则作法不正确的是（　　） A．作∠APB的平分线PC交AB于点C B．过点P作PC⊥AB于点C且AC=BC C．取AB中点C，连接PC D．过点P作PC⊥AB，垂足为C 【答案】B． 【解析】利用判断三角形全等的方法判断即可得出结论． A．利用SAS判断出△PCA≌△PCB，∴CA=CB，∠PCA=∠PCB=90°，∴点P在线段AB的垂直平分线上，符合题意； C．利用SSS判断出△PCA≌△PCB，∴CA=CB，∠PCA=∠PCB=90°，∴点P在线段AB的垂直平分线上，符合题意； D．利用HL判断出△PCA≌△PCB，∴CA=CB，∴点P在线段AB的垂直平分线上，符合题意， B．过线段外一点作已知线段的垂线，不能保证也平分此条线段，不符合题意。 2.如图，△ABC的三边AB、BC、CA长分别是20、30、40，其三条角平分线将△ABC分成三个三角形，则 ： ： 等于（ ） A. 1：2：3. B. 2：3：4. C. 3：4：5. D. 4：5：6. 【答案】B 【解析】由角平分线的性质可得，点O到三角形三边的距离相等，即三个三角形的AB、BC、CA的高相等，利用面积公式即可求解． 过点O作OD⊥AC于D，OE⊥AB于E，OF⊥BC于F， ∵O是三角形三条角平分线的交点， ∴OD=OE=OF，∵AB=20，BC=30，AC=40， ∴ ： ： =2：3：4． 3.如图，在△ABC中，∠C=90°，DE⊥AB于点E，CD=DE，∠CBD=26°，则∠A的度数为（ ） A. 34° B. 36° C. 38° D. 40° 【答案】C 【解析】，， 平分， 故答案为C． 4.如图，在四边形ABCD中，AB=CD，BA和CD的延长线交于点E，若点P使得，则满足此条件的点P（ ） A. 有且只有1个 B. 有且只有2个 C. 组成的角平分线 D. 组成的角平分线所在的直线点除外 【答案】D 【解析】作的平分线，可得点P到AB和CD的距离相等， 因为， 所以此时点P满足． 即组成的角平分线和外角平分线所在的直线点除外． 故选D． 5.小明同学在学习了全等三角形的相关知识后发现，只用两把完全相同的长方形直尺就可以作出一个角的平分线．如图：一把直尺压住射线OB，另一把直尺压住射线OA并且与第一把直尺交于点P，小明说：“射线OP就是的角平分线．”他这样做的依据是（ ） A. 角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上 B. 角平分线上的点到这个角两边的距离相等 C. 三角形三条角平分线的交点到三条边的距离相等 D. 以上均不正确 【答案】A 【解析】（1）如图所示：过两把直尺的交点C作，， 两把完全相同的长方形直尺， ， 平分角的内部到角的两边的距离相等的点在这个角的平分线上，故选A． 6.如图，AB=AC，BE⊥AC于E，CF⊥AB于