第十四讲 角平分线的性质 -【暑假辅导班】2021年新八年级数学上册暑假精品课程（人教版）

第十四讲 角平分线的性质 【学习目标】 1.通过操作、验证等方式，探究并掌握角平分线的性质定理. 2.能运用角的平分线性质解决简单的几何问题. 【新课讲解】 知识点1：尺规作角平分线 1.作角平分线是最基本的尺规作图,大家一定要熟练掌握. 2.尺规作角平分线方法（重要） 已知:∠AOB. 求作：∠AOB的平分线. 作法： （1）以点O为圆心，适当长为半径画弧，交OA于点M，交OB于点N. （2）分别以点M、N为圆心，大于MN的长为半径画弧，两弧在∠AOB的内部相交于点C. （3）画射线OC.射线OC即为所求. 知识点2：角平分线的性质 1. 角平分线的性质定理的内容 角的平分线上的点到角的两边的距离相等 2.证明角平分线的性质 【例题1】已知：如图， ∠AOC= ∠BOC,点P在OC上，PD⊥OA,PE⊥OB,垂足分别为D,E. 求证：PD=PE. 【答案】见解析。 【解析】证明：∵ PD⊥OA,PE⊥OB， ∴ ∠PDO= ∠PEO=90 °. 在△PDO和△PEO中， ∴ △PDO ≌△PEO(AAS). ∴PD=PE 知识点2：角平分线的性质定理应用 1.理解角平分线的性质定理：角的平分线上的点到角的两边的距离相等. 应用角平分线的性质定理所具备的条件： （1）角的平分线； （2）点在该平分线上； （3）垂直距离. 角平分线的性质定理的作用是证明线段相等. 2.一般情况下，我们要证明一个几何命题时，可以按照类似的步骤进行，即 (1)明确命题中的已知和求证； （2）根据题意，画出图形，并用数学符号表示已知和求证； （3）经过分析，找出由已知推出要证的结论的途径，写出证明过程. 【例题2】已知：如图，在△ABC中，AD是它的角平分线，且BD=CD,DE⊥AB, DF⊥AC.垂足分别为E,F. 求证：EB=FC. 【答案】见解析。 【解析】证明： ∵AD是∠BAC的角平分线， DE⊥AB, DF⊥AC， ∴ DE=DF, ∠DEB=∠DFC=90 °. 在Rt△BDE 和 Rt△CDF中， ∴ Rt△BDE ≌ Rt△CDF(HL). ∴ EB=FC. 角平分线的性质问题新课程过关检测 满分100分，答题时间60分钟 一、选择题（5小题，每小题4分，共20分） 1．如图，已知 ，小明按如下步骤作图： （1）以点O为圆心，适当长为半径画弧，交OA于D，交OB于点E （2）分别以点D、E为圆心，大于 的长为半径画弧，两弧在 的内部相交于点C （3）画射线OC 根据上述作图步骤，下列结论正确的有（ ）个 ①射线OC是 的平分线；②点O和点C关于直线DE对称；③射线OC垂直平分线段DE；④ . A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【解析】根据题意可知 ， ，可通过证明三角形全等或线段垂直平分线的判定进行判断. 连接CD、CE，由作图步骤可知 ，又 ， ， ， 射线OC是 的平分线，①正确； 连接DE,因为 不全等，所以点O和点C关于直线DE不对称， ②④错误； 射线OC垂直平分线段DE，③正确. 所以正确的是①③，有2个. 故选B 2．如图， 的外角 的平分线 相交于点 ， 于 ， 于 ，下列结论：（1） ；（2）点 在 的平分线上；（3） ，其中正确的有 （ ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】C 【解析】过点P作PG⊥AB，由角平分线的性质定理，得到 ，可判断（1）（2）正确；由 ， ，得到 ，可判断（3）错误；即可得到答案． 解：过点P作PG⊥AB，如图： ∵AP平分∠CAB，BP平分∠DBA， ， ，PG⊥AB， ∴ ；故（1）正确； ∴点 在 的平分线上；故（2）正确； ∵ ， 又 ， ∴ ；故（3）错误； ∴正确的选项有2个；故选：C． 3．如图，AB∥CD，BP和CP分别平分∠ABC和∠DCB，AD过点P，且与AB垂直．若AD＝8，则点P到BC的距离是（　　） A．8 B．6 C．4 D．2 【答案】C 【解析】过点P作PE⊥BC于E， ∵AB∥CD，PA⊥AB， ∴PD⊥CD， ∵BP和CP分别平分∠ABC和∠DCB， ∴PA=PE，PD=PE， ∴PE=PA=PD， ∵PA+PD=AD=8， ∴PA=PD=4， ∴PE=4．故选C． 4.如图，已知点P，D，E分别在OC，OA，OB上，下列推理： 平分， 平分，，， ，，． 其中正确的个数有( ) A. 0个 B. 1个 C. 2个 D. 3个 【答案】B 【解析】角的平分线的性质的题设是已知角的平分线和平分线上的点到两边的距离垂直，只有满足这两个条件，才能下结论：； 缺少“垂直”的条件，故错误； 缺少“平分线”的条件，故错误； 两个条件都具备。 平分，，， ．故答案为B． 5．到△ABC的三条边距