第3讲 常用逻辑用语（讲义）-【教育机构专用】2021年暑期新高一数学辅导讲义（沪教版2020）

第3讲 常用逻辑用语 【复习巩固】 1．设全集为，，则 . 【难度】★ 【答案】 2．已知集合，，那么集合 . 【难度】★★ 【答案】 3．全集，集合，，则 . 【难度】★★ 【答案】 【解析】解法一：，，所以；解法二：，所以，所以. 4．已知集合，，若，则实数的取值范围是 . 【难度】★★ 【答案】 【解析】，则，不能忽视的情况，当时，，解得；当时，，解得，所以实数的取值范围是. 【知识梳理】 1.有关命题的概念 一般地，我们把可以判断真假的语句叫做命题。 命题通常用陈述句表示，正确的命题叫做真命题，错误的命题叫做假命题。 2.充要条件的判定 充分条件与必要条件： 一般地，用、分别表示两个命题，如果成立，可以推出也成立，即，那么叫做的充分条件。叫做的必要条件。例如是充分非必要条件，是的必要非充分条件。 充要条件： 如果既有，又有，即有，那么既是的充分条件又是的必要条件，这时我们就说是的充要条件。例如或是充分必要条件。 3，反证法的定义： 反证法是间接论证的方法之一。亦称“逆证”。是通过断定与论题相矛盾的判断（即反论题）的虚假来确立论题的真实性的论证方法。反证法的论证过程如下：首先提出论题：然后设定反论题，并依据推理规则进行推演，证明反论题的虚假；最后根据排中律，既然反论题为假，原论题便是真的。在进行反证中，只有与论题相矛盾的判断才能作为反论题，论题的反对判断是不能作为反论题的，因为具有反对关系的两个判断可以同时为假。反证法中的重要环节是确定反论题的虚假，常常要使用归谬法。反证法是一种有效的解释方法，特别是在进行正面的直接论证或反驳比较困难时，用反证法会收到更好的效果。 反证法的步骤是： （1）假设结论不成立； （2）从假设出发推出矛盾； （3）假设不成立，则结论成立． 在假设结论不成立时要注意考虑结论的反面所有可能的情况，如果只有一种，那么否定一种就可以了，如果有多种情况，则必须一一否定． 【例题解析】 知识点一：有关命题的概念 例1．判断下列语句是不是命题，若是，判断其真假；若不是，说明理由。 （1）12是4的倍数； （2）对角互补的四边形外接于一个圆； （3）我会说英语； （4）今天下雨吗 （5）是有理数，则都是有理数。 【难度】★ 【答案】（1）是命题，真命题，因为。 （2）是命题，真命题，定理。 （3）是命题，假命题，当时，为有理数，而不是有理数。 （4）不是命题，没有对一事物做出判断。 （5）不是命题，因为其不能做出真假判断。 例2．判断下列命题的真假： （1）质数都是奇数； （2）钝角三角形的内角至少有一个是钝角； （3）若，，则。 （4）若则。 【难度】★ 【答案】（1）假命题，例如2是质数但不是奇数。 （2） 真命题；（3）真命题； （4）假命题，例如，此时 说明：假命题的判断可以使用“举反例法”。 若判断为真命题，则需证明。 例3．判断下列命题的真假： （1）所有能被6整除的整数都是3的倍数； （2）关于的方程有且只有一个实数根。 【难度】★ 【答案】（1）真命题。（2）假命题，当时，方程无实数根。 说明：假命题的判断可以使用“举反例法”。 若判断为真命题，则需证明。 例4．判断命题“若或，则”的真假。 【难度】★ 【答案】假命题，例如此时。 说明：根据其逆否命题的真假来进行判断原命题的真假，因为它们是等价的。 知识点二：充要条件的判定 例1．证明：是关于的一元二次方程有两个不同的实数根的充分非必要条件。 【难度】★★ 【答案】充分性：若，则方程的，方程有两个不同的实数根。 非必要性：当方程有两个不同的实数根，则，而不仅仅是。 说明：证明非必要性，只需证明不成立即可。 例2．指出下列各组命题中，是的什么条件（在“充分不必要”、“必要不充分”、“充要”、“既不充分也不必要”中选一种作答） （1）对于实数，，或 （2）已知，， 【难度】★★ 【答案】（1）是的充分不必要条件．（2）是的充分非必要条件． 例3．已知，“”是“”的什么条件？ 【难度】★★ 【答案】必要非充分条件。 说明：写成命题形式，判断原命题及其逆命题的真假即可。 例4．已知都是的必要条件，是的充分条件，是的充分条件，那么分别是的什么条件？ 【难度】★ 【答案】是的充要条件；(r，) 是的充要条件；(，) 是的必要条件；() 知识点三：充分条件、必要条件、充要条件的应用 例1．判断是的什么条件 （1） ； （2） ； （3） ； （4） . 【难度】★ 【答案】（1）是的必要非充分条件； （2）是的充要条件； （3）是的非充分非必要条件； （4）是的充要条件； 例2．求有关的方程（1）有一个根大于1，有一个根小于1的充要条件.（2）“有两个小于3的根