专题07 数列及其应用-十年（2012-2021）高考数学真题分项汇编（全国通用）

专题07 数列及其应用 【2021年】 1．（2021年全国高考甲卷数学（文）试题）记为等比数列的前n项和.若，，则（ ） A．7 B．8 C．9 D．10 【答案】A 【分析】∵为等比数列的前n项和， ∴，，成等比数列 ∴， ∴， ∴. 故选：A. 二、解答题 2．（2021年全国高考乙卷数学（文）试题）设是首项为1的等比数列，数列满足．已知，，成等差数列． （1）求和的通项公式； （2）记和分别为和的前n项和．证明：． 【答案】（1），；（2）证明见解析. 【分析】因为是首项为1的等比数列且，，成等差数列， 所以，所以， 即，解得，所以， 所以. （2）证明：由（1）可得， ，① ，② ①②得 ， 所以， 所以， 所以. 3．（2021年全国高考乙卷数学（理）试题）记为数列的前n项和，为数列的前n项积，已知． （1）证明：数列是等差数列; （2）求的通项公式． 【答案】（1）证明见解析；（2）. 【分析】（1）由已知得,且，, 取,由得, 由于为数列的前n项积， 所以, 所以， 所以, 由于 所以，即,其中 所以数列是以为首项，以为公差等差数列; （2）由（1）可得，数列是以为首项，以为公差的等差数列， , , 当n=1时，, 当n≥2时,,显然对于n=1不成立, ∴. 4．（2021年全国高考甲卷数学（文）试题）记为数列的前n项和，已知，且数列是等差数列，证明：是等差数列. 【答案】证明见解析. 【分析】∵数列是等差数列，设公差为 ∴， ∴， ∴当时， 当时，，满足， ∴的通项公式为， ∴ ∴是等差数列. 5．（2021年全国高考甲卷数学（理）试题）已知数列的各项均为正数，记为的前n项和，从下面①②③中选取两个作为条件，证明另外一个成立． ①数列是等差数列：②数列是等差数列；③． 注：若选择不同的组合分别解答，则按第一个解答计分． 【答案】答案见解析 【分析】选①②作条件证明③： 设，则， 当时，； 当时，； 因为也是等差数列，所以，解得； 所以，所以. 选①③作条件证明②： 因为，是等差数列， 所以公差， 所以，即， 因为， 所以是等差数列. 选②③作条件证明①： 设，则， 当时，； 当时，； 因为，所以，解得或； 当时，，当时，满足等差数列的定义，此时为等差数列； 当时，，不合题意，舍去. 综上可知为等差数列. 6．（2021年全国新高考Ⅰ卷数学试题）已知数列满足， （1）记，写出，，并求数列的通项公式； （2）求的前20项和. 【答案】（1）；（2）. 【分析】（1）由题设可得 又，， 故，即，即 所以为等差数列，故. （2）设的前项和为，则， 因为， 所以 . 【2012年——2020年】 1．（2020年全国统一高考数学试卷（文科）（新课标Ⅰ））设是等比数列，且，，则（ ） A．12 B．24 C．30 D．32 【答案】D 【分析】设等比数列的公比为，则， ， 因此，. 故选：D. 2．（2020年全国统一高考数学试卷（文科）（新课标Ⅱ））如图，将钢琴上的12个键依次记为a1，a2，…，a12.设1≤i<j<k≤12．若k–j=3且j–i=4，则称ai，aj，ak为原位大三和弦；若k–j=4且j–i=3，则称ai，aj，ak为原位小三和弦．用这12个键可以构成的原位大三和弦与原位小三和弦的个数之和为（ ） A．5 B．8 C．10 D．15 【答案】C 【分析】根据题意可知，原位大三和弦满足：． ∴；；；；． 原位小三和弦满足：． ∴；；；；． 故个数之和为10． 故选：C． 3．（2020年全国统一高考数学试卷（文科）（新课标Ⅱ））记Sn为等比数列{an}的前n项和．若a5–a3=12，a6–a4=24，则=（ ） A．2n–1 B．2–21–n C．2–2n–1 D．21–n–1 【答案】B 【分析】设等比数列的公比为， 由可得：， 所以， 因此. 故选：B. 4．（2020年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标Ⅱ））北京天坛的圜丘坛为古代祭天的场所，分上、中、下三层，上层中心有一块圆形石板(称为天心石)，环绕天心石砌9块扇面形石板构成第一环，向外每环依次增加9块，下一层的第一环比上一层的最后一环多9块，向外每环依次也增加9块，已知每层环数相同，且下层比中层多729块，则三层共有扇面形石板(不含天心石)（ ） A．3699块 B．3474块 C．3402块 D．3339块 【答案】C 【分析】设第n环天石心块数为，第一层共有n环， 则是以9为首项，9为公差的等差数列，， 设为的前n项和，则第一层、第二层、第三层的块数分 别为，因为下层比中层多729块， 所以， 即 即，解得， 所以. 故选：C 5．（2020年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标Ⅱ））数列中，，，若，则（