第八章 立体几何初步（解答题题型）-2020-2021学年高一数学下学期期末备考专题攻略（人教A版2019）

第八章 立体几何初步 解答题题型全覆盖 类型 对应典例 证明与体积问题 典例一 立体几何中的探索类问题 典例二 线面角 典例三 二面角 典例四 点到平面的距离 典例五 与球有关的问题 典例七 典例一、证明与体积问题 1．如图，在三棱锥 中， 底面 ， ， ， 分别为 、 、 的中点． （1）证明： ； （2）求三棱锥 的体积． 2．如图，三棱锥 中， 面 ，△ 为正三角形，点 在棱 上，且 ， 、 分别是棱 、 的中点，直线 与直线 交于点 ，直线 与直线 交于点 ， ， ． （1）求证： ； （2）求几何体 的体积． 3．如图，在等腰 中， ， ， ， 分别为 ， 的中点.将 沿直线 折起到 的位置，连接 ， ，得到如图所示的四棱锥 ，点 为 的中点. （1）证明： 平面 ； （2）当 时，求四棱锥 的体积. 4．如图矩形 是水平放置的一个平面四边形OABC的直观图，其中 ， ． （1）画出平面四边形OABC的平面图并标出边长，并求平面四边形OABC的面积； （2）若该四边形OABC以OA为旋转轴，旋转一周，求旋转形成的几何体的体积及表面积． 典例二、立体几何中的探索类问题 1．如图，正三棱柱 的底面边长为2，高为 ，过 的截面与上底面交于 且点P棱 的中点，点Q在棱 上． （1）试在棱 上找一点D，使得 平面 ，并加以证明； （2）求四棱锥 的体积． 2．如图所示，在四棱锥 中， 平面PAD， ，E是PD的中点． （1）求证： ； （2）线段AD上是否存在点N，使平面 平面PAB，若不存在请说明理由：若存在给出证明． 3．如图，四棱锥 中，四边形ABED是正方形，若G，F分别是线段EC，BD的中点. （1）求证： 平面ABC. （2）在线段CD上是否存在一点P，使得平面 平面ABC？并说明理由. 4．如图，在多面体 中，底面 为正方形，四边形 是矩形，平面 平面 （1）求证：平面 平面 ； （2）若过直线 的一个平面与线段 和 分别相交于点 和 （点 与点 均不重合），求证： ； （3）判断线段 上是否存在一点 ，使得平面 平面 ？若存在，求 的值；若不存在， 5．如图，四棱锥 中，底面 是平行四边形，E为 中点. （1）求证： 平面 ； （2）若M，N分别是线段 的中点，F是直线 上的动点，则线段 上是否存在点G，使得 平面 ？若存在，请求出 的比值：若不存在，请说明理由． 典例三、线面夹角 1．如图，在四棱锥 中，底面 是正方形，侧棱 底面 ，E是 的中点． （1）证明： 平面 ； （2）若 ，求直线 与底面 所成角的正切值． 2．如图，四边形ABCD为菱形，四边形ACFE为平行四边形，设BD与AC相交于点G， ， ， ， ． (1)证明：平面 平面ABCD； (2)若AE与平面ABCD所成角为45°，求四棱锥 的体积． 3．如图，四棱台 的底面为正方形， 面 ， ． （1）求证： 平面 ； （2）若平面 平面 ，求直线m与平面 所成角的正弦值． 4．已知直角梯形 ， ， ， ， 为 的中点，将 沿 翻折至 . （1）求证： ； （2）若 ，求 与平面 所成角的正弦值. 5．已知三棱柱 ， 是正三角形，四边形 是菱形且 ， 是 的中点， . （1）证明： ； （2）求直线 与平面 所成角的正弦值. 典例四、二面角 1．如图，圆柱 ，矩形 为过轴 的圆柱的截面，点 为弧 的中点，点 为 的中点. （1）求证： 平面 ； （2）若 ，三棱锥 的体积为 ，求二面角 的余弦值. 2．如图，在多面体ABCDE中，平面ACDE⊥平面ABC，四边形ACDE为直角梯形，CD∥AE，AC⊥AE，∠ABC=60°，CD=1，AE=AC=2，F为BE的中点． （1）当BC的长为多少时，DF⊥平面ABE． （2）求平面ABE与平面BCD所成的锐二面角的大小． 3．已知 是正三角形，线段 和 都垂直于平面 ，且 ， 为 的中点，设平面 平面 . （1）求证： ； （2）当平面 与平面 所成的锐二面角为 时，求几何体 的体积. 4．如图，在棱柱 中，底面 为平行四边形， ， ，且 在底面上的投影 恰为 的中点． （1）过 作与 垂直的平面 ，交棱 于点 ，试确定点 的位置，并说明理由； （2）若二面角 为 ，求棱柱 的体积． 5．如图，点 是腰长为2的等腰直角三角形 的底边 的中点， 于点 ，将 沿 折起，此时点 记作点 ． （1）当三棱锥 的体积最大时，证明：平面 平面 ； （2）若二面角 的大小为120°，求三梭锥 的体积． 典例五、点面距离 1．如图，四棱锥 中， 平面 ，四边形 为正方形，点M、N分别为直线 上的点，且满足 ． （1）求证： 平面 ； （2）若 ， ，求点 到平面 的距离． 2．已知