第06课 一元二次方程的应用（平均变化率、握手、面积问题）-【帮课堂】2021-2022学年九年级数学上册同步精品讲义（人教版）

第06课 一元二次方程的应用（平均变化率、握手、面积问题） 课程标准 课标解读 1. 通过分析具体问题中的数量关系，建立方程模型并解决实际问题，总结运用方程解决实际问题的一般步骤； 2. 通过列方程解应用题，进一步提高逻辑思维能力、分析问题和解决问题的能力. 通过分析实际问题，建立准确的数学模型，从而解决实际问题。 知识点01 列一元二次方程解应用题的一般步骤 1.利用方程解决实际问题的关键是寻找等量关系. 2.解决应用题的一般步骤： 　　　审(审题目，分清已知量、未知量、等量关系等)； 　　　设(设未知数，有时会用未知数表示相关的量)； 　　　列(根据题目中的等量关系，列出方程)； 　　　解(解方程，注意分式方程需检验，将所求量表示清晰)； 验（检验方程的解能否保证实际问题有意义） 　　　答(写出答案，切忌答非所问). 要点诠释： 列方程解实际问题的三个重要环节： 　　　一是整体地、系统地审题； 　　　二是把握问题中的等量关系； 　　　三是正确求解方程并检验解的合理性. 知识点02 一元二次方程应用题的主要类型 1.数字问题 (1)任何一个多位数都是由数位和数位上的数组成.数位从右至左依次分别是：个位、十位、百位、千位……，它们数位上的单位从右至左依次分别为：1、10、100、1000、……，数位上的数字只能是0、1、2、……、9之中的数，而最高位上的数不能为0.因此，任何一个多位数，都可用其各数位上的数字与其数位上的单位的积的和来表示，这也就是用多项式的形式表示了一个多位数.如：一个三位数，个位上数为a，十位上数为b，百位上数为c，则这个三位数可表示为：100c+10b+a. (2)几个连续整数中，相邻两个整数相差1. 如：三个连续整数，设中间一个数为x，则另两个数分别为x-1，x+1. 几个连续偶数(或奇数)中，相邻两个偶数(或奇数)相差2. 如：三个连续偶数(奇数)，设中间一个数为x，则另两个数分别为x-2，x+2. 2.常见模型问题 常见的类型应用公式进行解答，就会解题就会方便很多，下表就是常见基本公式： (1)增长率问题： a为原来数，x为平均增长率，n为增长次数，b为增长后的量. “共”或“累计问题” (2)降低率问题： (3)传染问题 (4)握手问题 (5)送礼问题 (6)枝干问题 （1）平均增长率：设原价为a，连续增长两次，价格变为b，每次增长的百分率为x，那么： 增长第一次价格为： ； 增长第二次在上一次价格的基础上再乘 ，即 最终价格 ，得出等量关系；（如果增长三次，就将指数2变换为3即可） “累计问题”：设第一个月为a，连续增长两个月，累计总数为b，设平均增长率为x，则： 第一个月为a，第二个月为 ，第三个月为 ，所以三个月累计 （2）平均降低率：设原价为a，连续降价两次，价格变为b，每次降价的百分率为x，那么： 增长第一次价格为： ； 增长第二次在上一次价格的基础上再乘 ，即 最终价格 ，得出等量关系； （3）传染问题：设开始挈带病毒的人数为a，一个病人一轮传染x个病人，两轮传染之后一共有b个人挈带病毒，则： 传染轮数 挈带病毒人数 传染人数 第一轮 第二轮 两轮结束后一共挈带病毒数 （4）握手问题： 这个问题和求多边形对角线的个数类似，以6个人举例： 首先A站起来，和其余5个人一次握手，共握手5次； 然后B站起来，和其余5个人一次握手，共握手5次； 以此类推，每个人都站起来和其余人握手， 一共握手： 次，但是握手完成后发现，任意两人之间握手2次，重复了一次，因此需要乘以 去重复；也就是一共握手 次。 由此推广。当人数为x时，一共握手 次； 送礼问题，与之有相似的推导过程：因为甲送给乙礼物和乙送给甲礼物，含义不同，故不需要去重复，因此送礼问题的公式为： =总次数； 3.形积问题 　　此类问题属于几何图形的应用问题，解决问题的关键是将不规则图形分割或组合成规则图形，根据图形的面积或体积公式，找出未知量与已知量的内在关系并列出方程. 面积类问题 内挖类型 外扩类型 开路类型 开门问题 要点诠释： 列一元二次方程解应用题是把实际问题抽象为数学问题（列方程），然后由数学问题的解决而获得对实际问题的解决.这是在解决实际问题时常用到的数学思想—方程思想. 考法01 数字问题 【典例1】已知两个数的和等于12，积等于32，求这两个数是多少． 【即学即练1】有一个两位数等于其数字之积的3倍，其十位数字比个位数字少2，求这个两位数. 考法02 平均变化率问题 【典例2】随着国家“惠民政策”的陆续出台，为了切实让老