第03课 一元二次方程的解法（三）公式法-【帮课堂】2021-2022学年九年级数学上册同步精品讲义（人教版）

第03课 一元二次方程的解法（三）--公式法 课程标准 课标解读 1. 理解一元二次方程求根公式的推导过程，了解公式法的概念； 2.能熟练应用公式法解一元二次方程； 通过求根公式的推导，培养学生数学推理的严密性及严谨性，渗透分类的思想． 知识点01 公式法解一元二次方程 1.一元二次方程的求根公式 一元二次方程 ，推导过程： 当 时， . 【知识拓展】 用公式法解关于x的一元二次方程 的步骤： ①把一元二次方程化为一般形式； ②确定a、b、c的值（要注意系数前的符号）； ③求出根的判别式 的值； ④若 ，则利用公式 求出原方程的解； 若 ，则原方程无实根. 【注意】任意一元二次方程都可以用公式法求解。 【微点拨】 （1）虽然所有的一元二次方程都可以用公式法来求解，但它往往并非最简单的，一定要注意方法的选择. （2）一元二次方程，用配方法将其变形为：. ①当时，右端是正数．因此，方程有两个不相等的实根：. ② 当时，右端是零．因此，方程有两个相等的实根：. ③ 当时，右端是负数．因此，方程没有实根. 知识点02 一元二次方程根的判别式 在推导过程中，出现的代数式 称为一元二次方程根的判别式； 1、根的判别式是判断一个一元二次方程根的情况的关键公式： 根的判别式△的正负性 一元二次方程根的情况 原方程有两个不等的实数根： ， 原方程有两个相等的实数根 原方程没有实数根 2、已知方程跟的情况，判断参数取值范围，会将根的情况转化为根的判别式的取值范围（不等式）： 一元二次方程根的情况 判别式的取值范围 有两个不相等的实数根 有两个相等的实数根 没有实数根 有两个实数根 有实数根 【注意】当二次项系数中含有字母时，要考虑二次项系数不为零。 考法01 公式法解一元二次方程 【典例1】用公式法解下列方程． (1) ； (2)； (3) ． 【解析】 (1) a=1，b=3，c=1 ∴x==． ∴x1=，x2=． (2)原方程化为一般形式，得． ∵，，， ∴． ∴，即，． (3) ∵a=2，b=3，c=﹣1 ∴b2﹣4ac=17＞0 ∴x= ∴x1=，x2=． 【点睛】 用公式法解一元二次方程的关键是对a、b、c的确定．用这种方法解一元二次方程的步骤是：(1)把方程化为一元二次方程的一般形式；(2)确定a，b，c的值并计算的值；(3)若是非负数，用公式法求解． 【即时训练1】用公式法解方程： ． 【答案】解：∵a=1，b=﹣3，c=﹣2； ∴b2﹣4ac=（﹣3）2﹣4×1×（﹣2）=9+8=17； ∴x= =， ∴x1=，x2=． 【典例2】用公式法解下列方程： (1) ； (2) ； （3） ． 【分析】针对具体的试题具体分析，不是一般式的先化成一般式，再写出a,b,c的值，代入求值即可. 【解析】 解：(1)∵2x2+x﹣2=0， ∴a=2，b=1，c=﹣2， ∴x===， ∴x1=，x2=． (2) ∵a=3，b=﹣6，c=﹣2， ∴b2﹣4ac=36+24=60＞0， ∴x=， ∴x1=，x2= （3）∵a=1，b=﹣3，b=﹣7． ∴b2﹣4ac=9+28=37. x= = ， 解得 x1=，x2=． 【总结升华】 首先把每个方程化成一般形式，确定出a、b、c的值，在的前提下，代入求根公式可求出方程的根． 【即时训练2】用公式法解下列方程：； 【答案】 解：移项，得． ∵ ，，，， ∴ ， ∴ ，． 考法02 根的判别式的应用 【典例3】关于 的一元二次方程 ，下列说法正确的是（ ） A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．没有实数根 D．无法确定 【答案】C 【分析】 根据根的判别式即可得出答案． 【详解】 解： 原方程没有实数根， 故选C． 【点睛】 本题考查的是根的判别式，一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根与△=b2-4ac有如下关系：①当△＞0时，方程有两个不相等的实数根；②当△=0时，方程有两个相等的实数根；③当△＜0时，方程无实数根．上面的结论反过来也成立． 【即学即练3】下列一元二次方程中，没有实数根的是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】 分别计算每个一元二次方程的根的判别式，从而可得答案． 【详解】 解： ， 方程有两个相等的实数根，故 不符合题意； ， 方程没有实数根，故 符合题意； ， 方程有两个不相等的实数根，故 不符合题意； ， 则 方程有两个不相等的实数根，故 不符合题意； 故选： 【点睛】 本题考查的是一元二次方程根的判别式，掌握“