第02课 一元二次方程的解法（二）配方法-【帮课堂】2021-2022学年九年级数学上册同步精品讲义（人教版）

第02课 一元二次方程的解法（二）—配方法 课程标准 课标解读 1．了解配方法的概念，会用配方法解一元二次方程； 2．掌握运用配方法解一元二次方程的基本步骤； 3．通过用配方法将一元二次方程变形的过程，进一步体会转化的思想方法，并增强数学应用意识和能力. 1.理解配方法的应用原理； 2.区分代数式配方与方程配方； 知识点01 一元二次方程的解法---配方法 1．配方法解一元二次方程： (1)配方法解一元二次方程： 将一元二次方程配成 的形式，再利用直接开平方法求解，这种解一元二次方程的方法叫配方法. (2)配方法解一元二次方程的理论依据是公式： . (3)用配方法解一元二次方程的一般步骤： ①把原方程化为 的形式； ②将常数项移到方程的右边；方程两边同时除以二次项的系数，将二次项系数化为1； ③方程两边同时加上一次项系数一半的平方； ④再把方程左边配成一个完全平方式，右边化为一个常数； ⑤若方程右边是非负数，则两边直接开平方，求出方程的解；若右边是一个负数，则判定此方程无实数解. 【知识拓展】 （1）配方法解一元二次方程的口诀：一除二移三配四开方； （2）配方法关键的一步是“配方”，即在方程两边都加上一次项系数一半的平方. （3）配方法的理论依据是完全平方公式． 知识点02 配方法的应用 1．用于比较大小： 在比较大小中的应用，通过作差法最后拆项或添项、配成完全平方，使此差大于零（或小于零）而比较出大小. 2．用于求待定字母的值： 配方法在求值中的应用，将原等式右边变为0，左边配成完全平方式后，再运用非负数的性质求出待定字母的取值． 3．用于求最值： “配方法”在求最大（小）值时的应用，将原式化成一个完全平方式后可求出最值． 4．用于证明： “配方法”在代数证明中有着广泛的应用，我们学习二次函数后还会知道“配方法”在二次函数中也有着广泛的应用． 【知识拓展】 “配方法”在初中数学中占有非常重要的地位，是恒等变形的重要手段，是研究相等关系，讨论不等关系的常用技巧，是挖掘题目当中隐含条件的有力工具，同学们一定要把它学好． 考法01 配方法解一元二次方程 【典例1】解方程： ． 【思路点拨】首先进行移项，得到x2+4x=1，方程左右两边同时加上4，则方程左边就是完全平方式，右边是常数的形式，再利用直接开平方法即可求解． 【答案与解析】 解：∵ ∴x2+4x=1 ∴x2+4x+4=1+4 ∴（x+2）2=5 ∴x=﹣2± ∴x1=﹣2+ ，x2=﹣2﹣ ． 【点睛】配方法的一般步骤： （1）把常数项移到等号的右边； （2）把二次项的系数化为1； （3）等式两边同时加上一次项系数一半的平方． 选择用配方法解一元二次方程时，最好使方程的二次项的系数为1，一次项的系数是2的倍数． 【即学即练1】用配方法解方程. (1) ； 　 (2) . 【答案】 (1)方程变形为x2-4x=2． 两边都加4，得x2-4x+4=2+4． 利用完全平方公式，就得到形如(x+m)2=n的方程，即有(x-2)2=6． 解这个方程，得x-2= 或x-2= ． 于是，原方程的根为x=2+ 或x=2- ． (2)将常数项移到方程右边x2+6x=-8． 两边都加“一次项系数一半的平方” =32，得 x2+6x+32=-8+32， ∴ (x+3)2=1． 用直接开平方法，得x+3=±1， ∴ x=-2或x=-4． 考法02 配方法在代数中的应用 【典例2】若代数式，，则的值（　　） Ａ．一定是负数 Ｂ．一定是正数 Ｃ．一定不是负数 Ｄ．一定不是正数 【答案】B； 【解析】 （作差法） ．故选Ｂ． 【点睛】 本例是“配方法”在比较大小中的应用，通过作差法最后拆项、配成完全平方，使此差大于零而比较出大小. 【典例3】用配方法证明：二次三项式﹣8x2+12x﹣5的值一定小于0． 【解析】 解： =﹣8（x2﹣ x）﹣5 =﹣8[x2﹣ x+（ ）2]﹣5+8×（ ）2 =﹣8（x﹣ ）2﹣ ， ∵（x﹣ ）2≥0， ∴﹣8（x﹣ ）2≤0， ∴﹣8（x﹣ ）2﹣ ＜0， 即 的值一定小于0． 【点睛】 利用配方法将代数式配成完全平方式后，再分析代数式值的符号. 注意在变形的过程中不要改变式子的值． 【即学即练2】求代数式 的最小值 【答案】 ∵（x+4）2≥0， ∴当（x+4）2=0时，代数式x2+8x+17的最小值是1. 【典例4】已知，求的值． 【分析】 解此题关键是把拆成 ，可配成两个完全平方式． 【解析】 将原式进行配方，得 ， 即， ∴ 且， ∴ ，． ∴ ． 【点睛】 本题可将原式用配方法转化成平方和等于0的形式，进而求出 的值． 题组A 基础过关练 1．一元二次方程