专题13相似三角形的性质及位似-2021-2022学年九年级数学上册课堂讲义（北师大版）

学科教师辅导教案 学员编号： 年 级： 课 时 数： 学员姓名： 辅导科目： 学科教师： 授课类型 T C T 授课日期及时段 教学内容 相似三角形的性质及位似 【知识导图】 教学过程 一、导入 【教学建议】 本讲是相似三角形的性质为主要知识点，在学习的时候要让注意复习回顾学过的有关相似的知识点. 三角形相似我们已经学习过很多知识点，本讲针对三角形和多边形的性质来把学习过的知识点综合讲述，相信本讲会使同学们对于三角形的相似有一个更深入的认识. 二、知识讲解 考点1 相似三角形的性质 1、相似三角形对应角相等、对应边成比例，且对应边之比就是相似比. 2、相似三角形对应高的比、对应角平分线的比和对应中线的比都等于相似比. 3、相似三角形的周长比等于相似比，面积比等于相似比的平方. 考点2 相似多边形的性质 1、相似多边形对应角相等，对应线段之比等于相似比，对应周长比等于相似比，对应面积比等于相似比的平方，而相似三角形是相似多边形的特例，因此，相似三角形具有相似多边形的一切性质. 2、四条边以上的多边形可分割成若干个三角形，相似多边形还具有“对应三角形相似的性质”. 3、相似多边形面积比等于相似比的平方，反之，相似多边形的相似比等于面积比的算术平方根. 说明：相似多边形的定义、性质与相似三角形基本一致，而相似多边形的判别与相似三角形是有区别的，对应角相等或对应边成比例的三角形相似，而只有对应角相等且对应边成比例的多边形才相似，所以不能把判别三角形相似的方法套用在多边形相似上，如两个矩形各角都相等，但对应边不一定成比例，所以矩形不一定相似，又如，两个菱形对应边成比例，但对应角不相等，所以菱形不一定相似，另外，研究多边形相似通常利用添加辅助线划为三角形. 考点3 相似多边形的性质的应用 1、用来证明角相等，线段成比例. 2、证明线段的平方比. 3、证明三角形相似. 4、用于有关计算. 考点4 位似的定义和性质 如果两个图形不仅是相似图形，而且每组对应点所成的直线多经过同一个点，那么这样的两个图形叫做位似图形，这个点叫做位似中心，这时的相似比又称为位似比. 位似图形上任意一对对应点到位似中心的距离之比都等于位似比. 说明：（1）位似图形上任意两组对应点连线的交点或其延长线的交点就是位似中心，位似中心和两对对应点构成“A型”或“X型”的基本图形. （2）利用位似图形的定义可将一个图形放大或缩小. （3）位似图形是相似图形的特例，不仅要求形状相同，而且还要求对应点的连线相交于同一点，因此，位似图形一定是相似图形，但相似图形不一定是位似图形. 三 、例题精析 类型一 相似三角形中对应线段的比 例题1 两个相似三角形的相似比为1：2，则对应高的比为 （ ） A． 1：1 B． 1：2 C． 1：3 D． 1：4 【解析】B 三角形的相似比是1：2， 那么这两个三角形对应边上的高的比是1：2． 故选B. 【总结与反思】三角形相似的性质即可解答此题. 类型二 相似三角形面积的比 例题1 如果两个相似三角形的相似比为2：3,　那么这两个相似三角形的面积比为__ 【解析】4：9 根据相似三角形的面积比等于相似比的平方可直接得出结果． 解：∵两个相似三角形的相似比为2：3， ∴这两个相似三角形的面积比为4：9． 本题考查了相似三角形的性质：相似三角形的面积的比等于相似比的平方． 【总结与反思】 此题利用相似三角形的性质来解答. 类型三：相似三角形性质的综合 例题1 已知：如图，矩形DEFG的一边DE在△ABC的边BC上，顶点G、F分别在边AB、AC上，AH是边BC上的高，AH与GF相交于点K，已知BC=12，AH=6，EF∶GF=1∶2，求矩形DEFG的周长． 【解析】设EF=，则GF=2． ∵GF∥BC，AH⊥BC，∴AK⊥GF． ∵GF∥BC，∴△AGF∽△ABC． ∴ ∵AH=6，BC=12，∴． 解得=3 ∴矩形DEFG的周长为18． 【总结与反思】 此题利用相似三角形的综合性质来解答. 类型四：位似图形的定义与性质 例题1 下列关于位似图形的表述： ①相似图形一定是位似图形，位似图形一定是相似图形； ②位似图形一定有位似中心； ③如果两个图形是相似图形，且每组对应点的连线所在的直线都经过同一个点，那么，这两个图形是位似图形； ④位似图形上任意两点与位似中心的距离之比等于位似比． 其中正确命题的序号是（ ） A．②③ B．①② C．③④ D．②③④ 【解析】相似图形不一定是