专题11相似多边形模型的应用-2021-2022学年九年级数学上册课堂讲义（北师大版）

学科教师辅导教案 学员编号： 年 级： 课 时 数： 学员姓名： 辅导科目： 学科教师： 授课类型 T C T 授课日期及时段 教学内容 相似多边形模型的应用 【知识导图】 教学过程 一、导入 【教学建议】 在这一讲知识的学习中，可以结合对应题型来帮助学生更好的理解三角形模型的知识. 三角形相似的判定我们已经练习了许多的习题，今天这节课我们要讲解三角形相似中的几个比较经典的模型，来更好的理解和应用三角形相似的知识. 二、知识讲解 考点1 相似三角形的模型 1、A型相似（常考题型，注意反A型的应用） 2、X型相似（角关系模型，一般由平行线产生） 3、母子型相似（常见的是通过做直角三角形斜边上的高产生的三个三角形的相似） 4、一线三等角型（角关系模型） 5、一线三垂直型（一线三等角性的特殊情况） 三 、例题精析 类型一 A型相似 例题1 如图，△ABC，是一张锐角三角形的硬纸片，AD是边BC上的高，BC=40cm，AD=30cm，从这张硬纸片上剪下一个长HG是宽HE的2倍的矩形EFGH，使它的一边EF在BC上，顶点G、H分别在AC，AB上，AD与HG的交点为M. (1)求证： (2)求这个矩形EFGH的周长； 【解析】(1)证明：∵四边形HEFG为矩形， ∴HG∥EF， 而AD⊥BC， ∴AM⊥BC， ∴△AHG∽△ABC， ∴ (2)设HE=x，HG=2x， 则，解得x=12， ∴这个矩形EFGH的周长=2x+4x=6x=72(cm)； 【总结与反思】通过A字型相似，即可轻松理解本题的相似模型. 类型二 X型相似 例题1 如图，在中，的平分线分别与、交于点、． （1）求证：； （2）当时，求的值． 【解析】（1）如图，在中，， ∴． ∵是的平分线， ∴． ∴． ∴． （2） ∴△∽△， ∴， ∴． 【总结与反思】 此题考察了X字型相似模型的应用. 类型三：母子型相似 例题1 在直角三角形ABC中，∠ACB=900，CD⊥AB，则图中相似三角形 CD²= AC²= ，BC²= . 【解析】△ADC∽ACB，△ADC∽△CDB，△BDC∽BCA CD²=AD·BD，AC²=AD·AB，BC²=BD·BA 【总结与反思】 通母子型相似模型即可得出相似三角形. 类型四：一线三等角型相似 例题1 在中，，，点、分别在射线、上（点不与点、点重合），且保持. ①若点在线段上（如图），且，求线段的长； ②若，，求与之间的函数关系式，并写出函数的定义域； A B C 备用图 A B C 备用图 A B C P Q 【解析】①∵AB=AC ∴∠B=∠C ∵∠APC=∠B+∠BAP=∠APQ+∠QPC ∠APQ=∠B ∵∠BAP=∠QPC ∵∠B=∠C ∴△BPA∽△CQP ∴ ∴ ∴CQ= ②∵△AEP∽△PCQ 【总结与反思】此类型考察的一线三等角相似模型的使用. 类型五：一线三垂直型相似 例题1 已知：如图，在矩形ABCD中，E为AD的中点，EF⊥EC交AB于点F，连接FC．（AB>AE） （1）△AEF与△ECF是否相似？若相似，证明你的结论；若不相似，说明理由． （2）设，是否存在这样的k值，使得△AEF与△BFC相似？若存在，证明你的结论并求出k的值；若不存在，说明理由． 【解析】（1）相似，理由如下： ∵EF⊥EC ∴∠AEF+∠DEC=90° ∵∠AEF+∠AFE=90° ∴∠DEC=∠AFE ∵∠A=∠D ∴△AEF∽△DCE ∴ ∵AE=DE ∴ ∵∠A=∠FEC ∴△AEF∽△ECF （2）存在如果△AEF与△BFC相似，则△ECF与△BFC相似． 假设∠EFC=∠BCF，则EF∥BC，明显不符合题意 ∴只可能是△ECF∽△BCF，即△AEF∽△BCF ∴∠BFC=∠EFC 由上问：∠AFE=∠EFC ∴∠AFE=∠EFC=∠BFC=60° ∴ ∵ ∴设AE=a，则BC=2a，AF=，BF= ∴AB= ∴，即：k= 【总结与反思】本题考查了三角形一线三垂直相似模型的综合使用能力. 四 、课堂运用 基础 1．如图所示，给出下列条件： ①；②；③；④． 其中单独能够判定的个数为（ ） A．1 B．2 C．3 D．4 2.如图，已知等边三角形ABC的边长为2，DE是它的中位线，则下面四个结论： （1）DE=1，（2）△CDE∽△CAB，（3）△CDE的面积与△CAB的面积之比为1：4. 其中正确的有（ ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 3.如图，AB∥CD，A