专题03正方形的性质与判定-2021-2022学年九年级数学上册课堂讲义（北师大版）

学科教师辅导教案 学员编号： 年 级： 课 时 数： 学员姓名： 辅导科目： 学科教师： 授课类型 T C T 授课日期及时段 教学内容 正方形的性质与判定 【知识导图】 教学过程 一、导入 在小学阶段的学习中我们已经学习过了正方形的性质和判定，在本讲中我们将会更加深入地学习正方形，正方形在初中数学四边形题型中占据了非常重要的位置. 二、知识讲解 考点1 矩形的定义和性质 有一组邻边相等，并且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形． 正方形既是特殊的矩形，又是特殊的菱形，故正方形具有矩形、菱形的性质． 性质：正方形的四个角都是直角，四条边相等．正方形的对角线相等，并且互相垂直平分，每条对角线平分一组对角． 考点2 矩形的判定 有一组邻边相等或对角线互相垂直的矩形是正方形. 有一个角是直角或对角线相等的菱形是正方形. 三 、例题精析 类型一 正方形的定义与性质 例题1 如图所示，正方形ABCD的对角线相交于点O，点E是BC上任意一点，EG⊥BD�于G，EF⊥AC于F，若AC=10，则EG+EF的值为（ ） A．10 B．4 C．8 D．5 类型二 正方形中的旋转问题 例题1 在正方形ABCD的边AB上任取一点E，作EF⊥AB交BD于点F，取FD的中点G，连接EG、CG，如图（1），易证 EG=CG且EG⊥CG． （1）将△BEF绕点B逆时针旋转90°，如图（2），则线段EG和CG有怎样的数量关系和位置关系？请直接写出你的猜想． （2）将△BEF绕点B逆时针旋转180°，如图（3），则线段EG和CG又有怎样的数量关系和位置关系？请写出你的猜想，并加以证明． 类型三 正方形的性质与判定 例题1 如图，在四边形ABCD中，AB=BC，对角线BD平分∠ABC，P是BD上一点，过点P作PM⊥AD，PN⊥CD，垂足分别为M，N． （1）求证：∠ADB=∠CDB； （2）若∠ADC=90°，求证：四边形MPND是正方形． 四 、课堂运用 基础 1.如图 ，正方形ABCD的边长为4，M在DC上，且DM=1，N是AC上一动点，则DN+MN的最小值为（ ）． A．3 B．4 C．5 D． 2.如图，点P是正方形ABCD的对角线BD上的一个动点（不与B、D重合），连结AP，过点B作直线AP的垂线，垂足为H，连结DH，若正方形的边长为4，则线段DH长度的最小值是 ． 3.如图，分别以线段AB的两个端点为圆心，大于AB的长为半径作弧，两弧交于M、N两点，连接MN，交AB于点D、C是直线MN上任意一点，连接CA、CB，过点D作DE⊥AC于点E，DF⊥BC于点F． （1）求证：△AED≌△BFD； （2）若AB=2，当CD的值为　 　时，四边形DECF是正方形． 巩固 1．如图，将正方形ABCD沿BE对折，使点A落在对角线BD上的A′处，连接A′C，则∠BA′C= 度． 2．如图，AB是CD的垂直平分线，交CD于点M，过点M作ME⊥A C，MF⊥AD，垂足分别为E、F． （1）求证：∠CAB=∠DAB； （2）若∠CAD=90°，求证：四边形AEMF是正方形． 3.猜想与证明： 如图1摆放矩形纸片ABCD与矩形纸片ECGF，使B、C、G三点在一条直线上，CE在边CD上，连接AF，若M为AF的中点，连接DM、ME，试猜想DM与ME的关系，并证明你的结论． 拓展与延伸： （1）若将”猜想与证明“中的纸片换成正方形纸片ABCD与正方形纸片ECGF，其他条件不变，则DM和ME的关系为 ． （2）如图2摆放正方形纸片ABCD与正方形纸片ECGF，使点F在边CD上，点M仍为AF的中点，试证明（1）中的结论仍然成立． 拔高 1.如图，将边长为2的正方形纸片ABCD折叠，使点B 落在CD上，落点记为E（不与点C，D重合），点A落在点F处，折痕MN交AD于点M，交BC于点N．若，则BN的长是 ，的值等于 ；若（，且为整数），则的值等于 （用含的式子表示）． 2.结论: 在直角三角形中，如果有一条直角边等于斜边的一半，那么这条直角边所对的锐角等于30°． 如图1，在等边三角形ABC内有一点P，且PA=2， PB=， PC=1．求∠BPC度数的大小和等边三角形ABC的边长． 李明同学做了如图2所示的辅助线：将△BPC绕点B逆时针旋转60°，画出旋转后的图形，连接PP′，从而问题得到解决．