专题02矩形的性质与判定-2021-2022学年九年级数学上册课堂讲义（北师大版）

学科教师辅导教案 学员编号： 年 级： 课 时 数： 学员姓名： 辅导科目： 学科教师： 授课类型 T C T 授课日期及时段 教学内容 矩形的性质与判定 【知识导图】 教学过程 一、导入 【教学建议】 在这一部分知识的学习中，要重视学生灵活运用所学知识点的能力培养. 在小学阶段的学习中我们已经学习过了矩形的性质和判定，在本讲中我们将会更加深入地学习矩形，矩形在初中数学四边形题型中占据了非常重要的位置. 二、知识讲解 考点1 矩形的定义和性质 有三个角是直角的四边形是矩形； ①矩形的对角线相等且互相平分； ②矩形的四个角都是直角； 考点2 矩形的判定 ①有一个角是90°的平行四边形； ②对角线相等的平行四边形； ③四个角都是直角的四边形； ④对角线相等且互相平分的四边形. 三 、例题精析 类型一 矩形的定义与性质 例题1 如图，矩形ABCD的周长为18cm，M是CD的中点，且AM⊥BM，则矩形ABCD的两邻边长分别是（ ） A.3cm和6cm B.6cm和12cm C.4cm和5cm D.以上都不对 【解析】A 首先证得△ADM≌△BCM，可得出∠AMD=∠BMC，由此可求出两角的度数，即可得出DM、MC的长，由此得解． ∵四边形ABCD是矩形， ∴∠D=∠C=90°，AD=BC， 又∵M是CD的中点 ∴MD=MC， ∴△ADM≌△BCM， ∴∠AMD=∠BMC ∵AM⊥BM， ∴∠AMD=∠BMC=45°， ∴AD=DM，BC=CM， ∵矩形ABCD的周长为18cm， ∴AD=3cm，DC=6cm， 故选A. 【总结与反思】此题运用了矩形的定义与性质：四个角都是90°. 类型二 直角三角形斜边上的中线的性质与判定 例题1 如图，∠MON=90°，矩形ABCD的顶点A、B分别在边OM，ON上，当B在边ON上运动时，A随之在边OM上运动，矩形ABCD的形状保持不变，其中AB=2，BC=1，运动过程中，点D到点O的最大距离为【 】 A．　　　B．　　　C．　　　D． 【解析】A 如图，取AB的中点E，连接OE、DE、OD， ∵OD≤OE+DE， ∴当O、D、E三点共线时，点D到点O的距离最大， 此时，∵AB=2，BC=1，∴OE=AE=AB=1. DE=， ∴OD的最大值为：.故选A. 【总结与反思】 此题是对直角三角形斜边上的中线的性质的灵活运用. 类型三 矩形中的折叠问题 例题1 如图，将矩形ABCD沿EF折叠，使顶点C恰好落在AB边的中点C′上．若AB=6，BC=9，则BF的长为（　　） Ａ、４　　Ｂ、３　　　Ｃ、４.５　　Ｄ、５ 【解析】A 由折叠可得，BC’= 3，BF+FC’= 9， 根据勾股定理可得：在△C’BF中， BF=4 故选A． 【总结与反思】根据折叠的性质和勾股定理即可解出此题. 类型四：矩形的性质与判定 例题1 如图，四边形ABCD的对角线AC、BD交于点O，BE⊥AC于E，DF⊥AC于 F，点O既是AC的中点，又是EF的中点． (1)求证：△BOE≌△DOF； (2)若OA＝BD，则四边形ABCD是什么特殊四边形？请说明理由． 【解析】解：（1）证明：∵BE⊥AC．DF⊥AC，∴∠BEO=∠DFO=90°. ∵点O是EF的中点，∴OE=OF. 又∵∠DOF=∠BOE，∴△BOE≌△DOF（ASA）. （2）四边形ABCD是矩形.理由如下： ∵△BOE≌△DOF，∴OB=OD. 又∵OA=OC，∴四边形ABCD是平行四边形. ∵OA=BD，OA=AC，∴BD=AC.∴平行四边形ABCD是矩形. （1）根据垂直可得∠BEO=∠DFO=90°，再由点O是EF的中点可得OE=OF，再加上对顶角 ∠DOF=∠BOE，可利用ASA证明△BOE≌△DOF. （2）根据△BOE≌△DOF可得DO=BO，再加上条件AO=CO可得四边形ABCD是平行四边形，再证明DB=AC，可根据对角线相等的平行四边形是矩形证出结论. 【总结与反思】根据矩形的性质即可解出此题. 类型五：与矩形对角线相关的拓展问题 例题1 如图，在矩形ABCD中，AB=3，AD=4，P是AD上的动点，PE⊥AC于E，PF⊥BD 于F，则PE+FF的值是（ ） A、 B、2 C、 D、 A 【解析】B 连接OP，过D作DM⊥AC于M，求出AC长，根据三角形的面积公式求出CM的值，根据代入求出PE+PF=DM即可． 连接OP，过D作DM⊥AC于M， ∵四边形ABCD是矩形，