专题01菱形的性质与判定-2021-2022学年九年级数学上册课堂讲义（北师大版）

学科教师辅导教案 学员编号： 年 级： 课 时 数： 学员姓名： 辅导科目： 学科教师： 授课类型 T C T 授课日期及时段 教学内容 菱形的性质与判定 【知识导图】 教学过程 一、导入 【教学建议】 在这一部分知识的学习中，要重视学生灵活运用所学知识点的能力培养. 在七八年级的学习中我们已经学习过了平行四边形的性质和判定，在本讲中我们将会学习平行四边形中的特殊图形之一——菱形，它在初中数学四边形题型中占据了非常重要的位置. 二、知识讲解 考点1 菱形的定义和性质 定义：一组邻边对应相等的平行四边形叫做菱形． 性质：除具备一般平行四边形的性质外，还具备四条边相等，对角线互相垂直，并且每条对角线平分一组对角． 考点2 菱形的判定 让学生拿出准备好的长方形纸片，剪出一个四边都相等的四边形，根据这个条件首先证它是平行四边形，再由一组邻边相等，依定义即知为菱形． 菱形判定定理1：四边都相等的四边形是菱形 1、已知：如图，在 ABCD中，BD⊥AC，O为垂足． 求证：ABCD是菱形. 启发：在已知是平行四边形的情况下，要证明是菱形，只要证明一组邻边相等． 证明：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AO＝CO（平行四边形的对角线互相平分）． ∵BD⊥AC， ∴AD＝CD ∴ABCD是菱形（菱形的定义）． 结论：菱形判定定理2：对角线互相垂直的平行四边形是菱形． 2、猜想：对角线互相垂直平分的四边形是不是菱形？ 启发：通过四个直角三角形的全等得到四条边相等． 结论：对角线互相垂直平分的四边形是菱形． 三 、例题精析 类型一 菱形的定义与性质 例题1 如图，菱形ABCD的周长为24cm，对角线AC、BD相交于O点，E是AD的中点，连接OE，则线段OE的长等于【 】 A.3cm B.4cm C.2.5cm D.2cm 【解析】A. ∵菱形ABCD的周长为24cm，∴边长AB=24÷4=6cm. ∵对角线AC、BD相交于O点，∴BO=DO. 又∵E是AD的中点，∴OE是△ABD的中位线.∴OE=AB=×6=3（cm）.故选A. 【总结与反思】此题运用了菱形的定义与性质：四边相等、对角线相互平分. 类型二 菱形的轴对称性（最值问题）和面积 例题1 如图，已知菱形ABCD中，∠ABC=60°，AB=8，过线段BD上的一个动点P（不与B、D 重合）分别向直线AB、AD作垂线，垂足分别为E、F． （1）BD的长是______ （2）连接PC，当PE+PF+PC取得最小值时，此时PB的长是______． 【解析】 ；． （1）连接AC，交BD与点O， ∵四边形ABCD是菱形，∠ABC=60°， ∴△ABC为等边三角形，AC=AB=8， 根据菱形性质得：AO=CO=AC=4，OB=OD，AC⊥BD， 根据勾股定理得：BD=2OB=2×=8； （2）延长FP交BC于点M，则FM⊥BC． ∵PM=PE， ∴PE+PF=PF+PM=FM， 又∵S菱形ABCD=AC•BD=BC•FM， ∴×8×8=8•FM，即FM=4， ∴要使PE+PF+PC取最小值，只要PC取最小值． 当CP⊥BD，即点P与点O重合时，PE+PF+PC的值最小． 此时PB=BO=DO=BD=4． 故答案为：8；4． 【总结与反思】 此题是对菱形定义和性质的灵活运用，通过菱形性质求出了最值. 类型三 菱形的判定 例题1 如图，将△ABC沿BC方向平移得到△DCE，连接AD，下列条件能够判定四边形ABCD为菱形的是（ ） A、AB=BC B、AC=BC C、∠B=60° D、∠ACB=60° ． 【解析】A 首先根据平移的性质得出AB平行且等于CD，得出四边形ABCD为平行四边形，根据邻边相等的平行四边形是菱形可得添加条件AB=BC即可即可． 试题解析：∵将△ABC沿BC方向平移得到△DCE， ∴AB平行且等于CD， ∴四边形ABCD为平行四边形， 当AB=BC时，平行四边形ACED是菱形． 故选A． 【总结与反思】先证明四边形是平行四边形，再由邻边相等证明四边形是菱形.. 四 、课堂运用 基础 1.在菱形ABCD中，若∠ADC=120°，对角线AC=6，则菱形的周长是（ ） A．4 B．24 C