【期末讲义】第五单元《三角形》—2020-2021学年数学四年级下册章节复习精编讲义(思维导图+知识讲解+达标训练）人教版，含解析

期末复习讲义（人教版） 2020-2021学年人教版数学四年级下册期末章节复习精编讲义 第五单元《三角形》 知识点一：三角形的特性 1、三角形的定义：由三条线段围成的图形（每相邻两条线段的端点相连或重合），叫三角形。 2、从三角形的一个顶点到它的对边做一条垂线，顶点和垂足间的线段叫做三角形的高，这条对边叫做三角形的底。三角形只有3条高。 重点：三角形高的画法：一落二移三画四标 3、三角形具有稳定性。如：自行车的三角架，电线杆上的三角架。 4、三角形三边的关系：三角形任意两边之和大于第三边。三角形任意两边之差小于第三边。两边之差〈 第三边〈 两边之和。 判断三条线段能不能组成三角形，只要看最短的两条边的和是不是大于第三条边。 5、为了表达方便，用字母A、B、C分别表示三角形的三个顶点，三角形可表示成三角形ABC。 知识点二：三角形的分类 1、按照角大小来分：锐角三角形，直角三角形，钝角三角形。 2、按照边长短来分：三边不等的△，三边相等的△,等腰△（等边三角形或正三角形是特殊的等腰△）。 3、等边△的三边相等，每个角是60度。（顶角、底角、腰、底的概念） 4、三个角都是锐角的三角形叫做锐角三角形。 5、有一个角是直角的三角形叫做直角三角形。 6、有一个角是钝角的三角形叫做钝角三角形。 7、每个三角形都至少有两个锐角；每个三角形都至多有1个直角；每个三角形都至多有1个钝角。 8、两条边相等的三角形叫做等腰三角形。 9、三条边都相等的三角形叫等边三角形，也叫正三角形。 10、等边三角形是特殊的等腰三角形 知识点三：三角形的内角和 1、三角形的内角和是180°。四边形的内角和是360°。一个三角形中至少有两个锐角，每个三角形都至多有一个直角；每个三角形都至多有一个钝角。可以根据最大的角判断三角形的类型。最大的角是哪类角，就属于那类三角形。最大的角是直角，就是直角三角形。最大的角是钝角，就是钝角三角形。 2、图形的拼组：（1）当两个三角形有一条边长度相等时，就可以拼成四边形。 （2）任何两个（完全一样）的三角形可以拼成一个平行四边形。 并且将不同的等边重合，还可以拼出不同形状的四边形。 （3）两个（完全一样）的直角三角形可以拼成 （平行四边形）或（长方形）或（等腰三角形）。 （4）用两个相同的等腰直角三角形可以拼成一个平行四边形、一个正方形、一个大的等腰直角三角形。 （5）三个相同的三角形能拼成梯形；三个相同的等腰三角形能拼成一个等腰梯形。 （6）至少需要两个三角形，才可以拼四边形。 至少需要三个相同的三角形才可以拼梯形。 至少用（2个）直角三角形可以拼成一个长方形。 至少用（3个）等边三角形可以拼成一个等腰梯形。 至少用（2个）等边三角形可以拼成一个平行四边形。 （7）多个三角形可以拼出各种美丽的图案。 密铺：可以进行密铺的图形有长方形、正方形、三角形以及正六边形 一、精挑细选（共5题；每题1分，共5分） 1. （2020四下·渝中期末）下面（    ）组线段能围成三角形。 A. 7cm、9cm、11cm                   B. 2cm、3cm、8cm                   C. 5cm、7cm、12cm 2. （2020四下·铁西期末）下面（    ）组小棒可以围成三角形。 A.                 B.                 C.  3. （2021四下·义乌期中）三角形ABC中，∠A＝46°，∠B＝44°，这个三角形是（   ）三角形。 A. 锐角                                     B. 直角                                     C. 钝角                                     D. 等腰 4. （2021四下·龙华月考）王奶奶要给菜地围上篱笆，（    ）的围法更牢固。 A.                  B.                  C.                  D.   5. （2020四下·东昌府期末）一个等腰三角形的一个角是30°，其它两个角分别是（    ）。 A. 30°和120°                          B. 75°和75°                          C. 以上两种情况均有可能 二、判断正误（共5题；每题2分，共10分） 6. （2021四下·惠阳期中）三角形越大，内角和越大。（     ） 7. （2020四下·罗定期末）任意三角形的内角和都是180°。（    ） 8. （2020四下·成华期末）在一个三角形中，如果有一个角是锐角，那么这个三角形就是锐角三角形。（   ） 9. （2021四下·义乌期中）用3.8米、5.9米、3米长的三根小棒围成一个三角形。（   ） 10. （2021四下·义乌期中）钝角三角形中只有一个钝角。（   ） 三、仔细想，认真填（共10题；每空1分，共15分） 11. （2021四下·沈阳月考）木工师傅在做完门框后，为了防止变形常常钉上两根斜拉的木条，这样做是利用了三角形的________。 12. （2020四下·罗定期末）三角形具有________性，不容易变形。 13. （2020四上·惠来期中）在同一条公路上有三条小路通往笑笑家，它们的长度分别是278米、202米、195米，其中有一条小路与公路是垂直的，那么这条小路的长度是________米。 14. （2021四下·惠阳期中）一个等腰三角形，它的一个底角是50度，它的顶角是________，一个等边三角形的边长是9厘米，它的周长是________厘米。 15. （2021四下·惠阳期中）一个等腰三角形的顶角是80度，一个底角是________。 16. （2021四下·义乌期中）把一个平行四边形分成两个梯形，这两个梯形的内角和都是________；如果把这个平行四边形分成两个三角形，这两个三角形的内角和都是________。 17.（2021四下·龙华月考）几块三角形玻璃被打碎了一个角，被打碎的角是多少度？ ________ ________ ________ 18. （2020四下·成华期末）如图，∠1+∠2+∠3=________°。 19. （2020四下·硚口期末）有两根长度分别为5厘米和3厘米的小棒，再添一根小棒（长度为整厘米数）可以搭成一个三角形，这个三角形的周长最长有________厘米，最短有________厘米。 20. （2020四下·相山期末）如图，图中一共有________个三角形。 四、作图题（共2题；共9分） 21. ( 3分 ) （2020四下·铁西期末）在点子图上按要求画图形。 22. ( 6分 ) （2020四下·金安期中）分别画出三角形底边上的高。 （1） （2） （3） 五、解答题（共10题；共61分） 23. ( 3分 ) （2020四下·罗定期末）请你用思维图表示三角形的分类。 24. ( 5分 ) 一个等腰三角形的一个底角的度数是顶角的一半，这个等腰三角形的顶角是多少度？它又是什么三角形？ 25. ( 5分 ) 一个等腰三角形的底边是3厘米，周长为37厘米，它的腰长是多少厘米？ 26. ( 5分 ) （2021四下·惠阳期中）一个等腰三角形的周长是30厘米，如果三角形的腰长是8厘米，那么这个三角形的底边长是多少厘米？ 27. ( 5分 ) （2021四下·龙华月考）小光用一根铁丝围成了一个边长为24厘米的正方形框架，如果用这根铁丝围成一个等边三角形，那么这个等边三角形的边长是多少厘米？ 28. ( 7分 ) 填一填。 （1）等边三角形的一条边长是10厘米，它的周长是________厘米。 （2）如下图，三角形ABC的三个角的度数分别是70°，80°，和30°，这个三角形最长的边是________，最短的边是________。 （3）下图是从一个等腰三角形上撕下的一个角，那么另外两个角的度数是________和________，或者________和________。 29. ( 5分 ) 用一根长36米的铁丝做一个等边三角形，每条边的长应该是多少米？ 30. ( 5分 ) 一个等腰三角形的周长是35厘米，它的一条腰长是底边长的2倍，它的底边长是多少厘米？ 31. ( 6分 ) 木工师傅要做一个三角形框架，但他只有一根20分米长的木条。请你想一想，木工师傅可以怎么截取?（要求三条边长均为整分米数） 20=□+□+□ 如果你有不同的截法，请写在下面。 32. ( 15分 ) （2020四下·郸城期末）列式计算。 （1）已知三角形中两个角分别为56°和78°，则另外一个角是多少度？ （2）319减去440除以11的商，所得的差乘18，积是多少？ （3）9.8与0.2的和加上7.8与3.5的差，和是多少？ 一、精挑细选 1.【答案】 A 解：选项A，9-7＜11＜9+7，即能构成三角形，所以正确； 选项B，2+3＜8，即不能构成三角形，所以错误； 选项C，5=7=12，即不能构成三角形，所以错误。 故答案为：A。 【思路引导】三角形的三边关系：三角形的两边之和大于第三边，三角形的两边之差小于第三边，本题据此进行验证即可。 2.【答案】 C A选项，2+2=4（cm），4cm=4cm，所以不可以围成三角形，故A错误； B选项，1+2=3（cm），3cm<4cm，所以不可以围成三角形，故B错误； C选项，2+3=5（cm），5cm>4cm，4-3=1（cm），1cm<2cm，所以可以围成三角形，故C正确。 故答案为：C。 【思路引导】三条线段要围成三角形，要满足：任意两边之和大于第三边；任意两边之差小于第三边。 3.【答案】 B ∠C=180°-（∠A+∠B）=180°-（46°+44°）=90°，这个三角形是直角三角形。 故答案为：B。 【思路引导】三角形的内角和是180°，三角形的内角和减去其中两个内角的和，得到另一个内角，三角形的分类：三个角都是锐角的三角形叫做锐角三角形；有一个角是直角的三角形叫做直角三角形；有一个角是钝角的三角形叫做钝角三角形，据此解答。 4.【答案】 B A：是平行线，不牢固； B：含有三角形，牢固； C：是平行四边形，不牢固； D：是正方形，不牢固。 故答案为：B。 【思路引导】三角形具有稳定性的特征，所以围篱笆时要把篱笆围成三角形。 5.【答案】 C 解：30度的角如果是底角，那么另一个底角也是30度，顶角是180-30-30=120（度）； 30度的角如果是顶角，那么两个底角的和是180-30=150度，底角是150÷2=75（度）. 故答案为：C。 【思路引导】等腰三角形的底角相等，内角和是180度，据此解答。 二、判断正误 6.【答案】 错误 解：不管三角形多大，三角形的内角和都是180°，原题说法错误。 故答案为：错误。 【思路引导】本题根据三角形的内角和是180°进行判断即可。 7.【答案】 正确 解：任意三角形的内角和都是180°，说法正确。 故答案为：正确。 【思路引导】三角形的内角和是180°，本题据此判断即可。 8.【答案】 错误 解：题中只说明有一个锐角，另外两个角不一定都是锐角，所以这个三角形不一定就是锐角三角形。 故答案为：错误。 【思路引导】三个角都是锐角的三角形叫做锐角三角形。 9.【答案】 正确 因为3.8+3＞5.9，所以用3.8米、5.9米、3米长的三根小棒围成一个三角形，此题说法正确。 故答案为：正确。 【思路引导】在三角形里，任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边，据此列式解答。 10.【答案】 正确 钝角三角形中只有一个钝角，此题说法正确。 故答案为：正确。 【思路引导】三角形的内角和是180°，三角形按角分类，可以分为锐角三角形、直角三角形、钝角三角形。有一个角是直角的三角形是直角三角形；有一个角是钝角的三角形是钝角三角形；三个角都是锐角的三角形是锐角三角形，据此解答。 三、仔细想，认真填 11.【答案】 稳定性 解：木工师傅在做完门框后，为了防止变形常常钉上两根斜拉的木条，这样做是利用了三角形的稳定性。 故答案为：稳定性。 【思路引导】三角形具有稳定性。 12.【答案】 稳定 解：三角形具有稳定性，不容易变形。 故答案为：稳定。 【思路引导】本题根据三角形具有稳定性进行解答。 13.【答案】 195 解： 在同一条公路上有三条小路通往笑笑家，它们的长度分别是278米、202米、195米，其中有一条小路与公路是垂直的，那么这条小路的长度是195米。 故答案为：195。 【思路引导】本题根据两点之间，垂线段最短即可得出答案。 14.【答案】 80；27 解：等腰三角形的顶角=180°-50°×2 =180°-100° =80°； 等边三角形的周长=9×3=27（厘米）。 故答案为：80；27。 【思路引导】等腰三角形的两个底角相等，所以等腰三角形的顶角=三角形的内角和-一个底角的度数×2；等边三角形的三条边均相等，所以等腰三角形的周长=一条边长×3，代入数值计算即可。 15.【答案】 50° 解：一个底角=（180°-80°）÷2 =100°÷2 =50°。 故答案为：50°。 【思路引导】等腰三角形的两个底角相等，三角形的内角和是180°，所以等腰三角形的一个底角=（三角形的内角和-顶角的度数）÷2，代入数值计算即可。 16.【答案】 360°；180° 把一个平行四边形分成两个梯形，这两个梯形的内角和都是360°；如果把这个平行四边形分成两个三角形，这两个三角形的内角和都是180° 。 故答案为：360°；180° 。 【思路引导】四边形的内角和都是360°，三角形的内角和都是180°，据此解答。 17.【答案】 90°；86°；110° 解：第一个：180°-55°-35°=90°； 第二个：180°-46°-48°=86°； 第三个：180°-27°-43°=110°。 故答案为：90°；86°；110°。 【思路引导】三角形内角和是180°，用三角形内角和减去两个已知角的度数即可求出被打碎的角的度数。 18.【答案】 360 解：因为∠1=180°-∠CAB，∠2=180°-∠CBA，∠3=180°-∠ACB， 所以∠1+∠2+∠3 =（180°-∠CAB）+（180°-∠CBA）+（180°-∠ACB） =180°-∠CAB+180°-∠CBA+180°-∠ACB =180°+180°+180°-（∠CAB+∠CBA+∠ACB） =540°-180° =360°。 故答案为：360。 【思路引导】平角是180°，三角形的内角和是180°，∠1、∠2、∠3分别和一个三角形的内角形成一个平角，据此用（180°-三角形的一个内角）替换∠1、∠2、∠3，进行计算解答即可。 19.【答案】 15；11 因为5-3＜第三边长度＜5+3，所以2＜第三边长度＜8，则第三边长度最长是7厘米，最短是3厘米，这个三角形的周长最长是：5+3+7=15（厘米），最短是：5+3+3=11（厘米）。 故答案为：15；11。 【思路引导】在三角形里，任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边，据此确定第三边的范围，然后用三边相加可以得到三角形的周长，据此解答。 20.【答案】 12 解：图中共有12个三角形。 故答案为：12。 【思路引导】单个的三角形共3个，两个图形组成的三角形有5个，三个图形组成的三角形有1个，四个图形组成的三角形有2个，再加上1个大三角形共12个。 四、作图题 21.【答案】 【思路引导】1、三角形：由平面上不在同一直线上的三条线段首尾顺次连结所组成的封闭图形叫做三角形。 2、四边形：由平面上不在同一直线上的四条线段首尾顺次连结所组成的封闭图形叫做四边形，两组对边分别平行的四边形叫平行四边形。 3、梯形：有且仅有一组对边平行的四边形叫梯形。 22.【答案】 （1） （2） （3） 【思路引导】三角形高的作法：将直角三角尺的一条直角边与已知直线重合，移动直角三角板，将直角三角板的直角的顶点与直线上的点重合，直角三角板另一条直角边即是所求的高线。 五、解答题 23.【答案】 【思路引导】三角形按角分类可分成：钝角三角形（有一个角是钝角的三角形）、直角三角形（有一个角是直角的三角形）、锐角三角形（三个角都是锐角的三角形）。 24.【答案】 解：180÷（1+1+2）=45（度) 180-45×2=90(度） 答：这个等腰三角形的顶角是90度，又是直角三角形。 【思路引导】：设这个三角形的底角的度数是1份，则顶角是2份，由三角形的内角和定理可列式为：180÷（1+1+2）求出底角的度数，又已知“一个底角的度数是顶角的一半”，即可求出顶角的度数，据此即可得解。 25.【答案】 解：（37-3）÷2=17（cm） 答：腰长17厘米。 【思路引导】三角形的周长和底边已知，因为等腰三角形的两条腰相等，所以利用三角形的周长减去底边长，再除以2即可解答。 26.【答案】 解：30-8×2 =30-16 =14（厘米） 答：这个三角形的底边长是14厘米。 【思路引导】等腰三角形的两个腰长相等，所以三角形的底边长=三角形的周长-腰长×2，代入数值计算即可。 27.【答案】 解：24×4÷3 =96÷3 ＝32（厘米） 答：这个等边三角形的边长是32厘米。 【思路引导】等边三角形3条边的长度相等。用正方形的边长乘4求出铁丝的长度，用铁丝的长度除以3即可求出等边三角形的边长。 28.【答案】 （1）30 （2）AC；AB （3）75°；75°；30°；120° 解：（1）10×3=30（厘米）； （2）这个三角形最长的边是AC，最短的边是AB； （3）当30°的角是顶角时，其余两个角的度数是： （180°-30°）÷2 =150°÷2 =75°； 当30°的角是底角时，剩余一个角的度数是30°，另一个的度数是： 180°-30°×2 =180°-60° =120°。 故答案为：（1）30；（2）AC；AB；（3）75°；75°；30°；120°。 【思路引导】（1）等边三角形的周长=边长×3； （2）三角形中最大的内角所对应的边最长，最小的内角所对应的边最短； （3）分两种情况：①当30°的角是顶角时，其余两个角的度数是=（180°-30°）÷2； ②当30°的角是底角时，剩余一个角的度数是30°，另一个的度数=180°-30°×2。 29.【答案】 解：36÷3=12(米) 答：每条边的长应该是12米. 【思路引导】36米就是三角形的周长，等边三角形的三条边长度相等，因此用三角形的周长除以3即可求出一条边的长度. 30.【答案】 解：35÷(1＋2＋2) =35÷5 =7(厘米) 答：它的底边长是7厘米. 【思路引导】等腰三角形的两条腰长度相等，底边长是1份，每条腰的长度就是2份，用三角形的周长除以三条边的份数和即可求出底边的长度. 31.【答案】 解：20÷2=10（分米），则三角形的最长边只能是9分米， 20=9＋9＋2； 20=9＋8＋3； 20=9＋7＋4； 20=9＋6＋5； 20=8＋8＋4； 20=8＋7＋5； 20=8＋6＋6； 20=7＋7＋6； 共8种不同的截法。 【思路引导】三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边。 32.【答案】 （1）解：180-56-78=46（度） 答：另外一个角是46度。 （2）解：（319-440÷11）×18 =（319-40）×18 =279×18 =5022 答：积是5022. （3）解：（9.8+0.2）+（7.8-3.5） =10+4.2 =14.2 答：和是14.2. 【思路引导】（1）三角形内角和-两个角的度数=另外一个角的度数； （2）运算顺序是先除法，再减法，最后乘法； （3）运算顺序，先算和与差，再算和。 知识互联网 知识导航 夯实基础 能力提升 能力达标百分训练（答案解析） $