第三章 第三节 导数与函数的极值最值-备战2022年（新高考）数学一轮复习考点讲解+习题练习

第3节 导数与函数的极值最值 知识回顾 1．函数的极值与导数 条件 f′(x0)＝0 x0附近的左侧f′(x)>0，右侧f′(x)<0 x0附近的左侧f′(x)<0，右侧f′(x)>0 图象 极值 f (x0)为极大值 f (x0)为极小值 极值点 x0为极大值点 x0为极小值点 2.函数的最值 (1)在闭区间[a，b]上连续的函数f (x)在[a，b]上必有最大值与最小值． (2)若函数f (x)在[a，b]上单调递增，则f (a)为函数的最小值，f (b)为函数的最大值；若函数f (x)在[a，b]上单调递减，则f (a)为函数的最大值，f (b)为函数的最小值． 课前检测 1．函数f (x)＝2x－xln x的极值是(　　) A. B. C．e D．e2 答案　C 解析　因为f′(x)＝2－(ln x＋1)＝1－ln x，当f′(x)>0时，解得0<x<e；当f′(x)<0时，解得x>e，所以x＝e时，f (x)取到极大值，f (x)极大值＝f (e)＝e.故选C. 2.若函数在区间,上有最小值，则实数的取值范围是(　　) A． B． C．， D． 【答案】C 【解析】【解答】由题， 令解得；令解得或 由此得函数在上是减函数，在上是增函数，在上是减函数 故函数在处取到极小值，判断知此极小值必是区间，上的最小值 ，解得 又当时，，故有 综上知， 故选C． 【分析】求函数导数，研究其最小值取到位置，由于函数在区间，上有最小值，故最小值点的横坐标是集合，的元素，由此可以得到关于参数的等式，解之求得实数的取值范围 3．(多选)函数y＝f (x)的导函数f′(x)的图象如图所示，以下命题错误的是(　　) A．－3是函数y＝f (x)的极值点 B．－1是函数y＝f (x)的最小值点 C．y＝f (x)在区间(－3,1)上单调递增 D．y＝f (x)在x＝0处切线的斜率小于零 答案　BD 解析　根据导函数的图象可知当x∈(－∞，－3)时，f′(x)<0，当x∈(－3，＋∞)时，f′(x)≥0， ∴函数y＝f (x)在(－∞，－3)上单调递减，在(－3，＋∞)上单调递增，则－3是函数y＝f (x)的极值点， ∵函数y＝f (x)在(－3，＋∞)上单调递增，∴－1不是函数y＝f (x)的最小值点， ∵函数y＝f (x)在x＝0处的导数大于0，∴y＝f (x)在x＝0处切线的斜率大于零． 故错误的命题为BD. 4.已知函数 在 处取得极值 ，则 ________ ． 【答案】 【解析】由 ，得： 因为函数 在 处取得极值 所以 所以 解得： 或 当 时， 所以函数在 上为单调递增函数，与在 处取得极值 相矛盾 所以不合题意，舍去 当时， 所以， ，且当 时，，函数 在区间 上为减函数 当 时，，函数 在区间 上为增函数 所以函数 在 处取得极值，所以符合题意 所以 所以答案应填： 5．已知函数f (x)＝x3＋x2－2ax＋1，若函数f (x)在(1,2)上有极值，则实数a的取值范围为________． 答案　 解析　f′(x)＝x2＋2x－2a的图象是开口向上的抛物线，且对称轴为x＝－1，则f′(x)在(1,2)上是单调递增函数，因此解得<a<4，故实数a的取值范围为. 课中讲解 考点一.利用导数研究函数的极值 1. 函数图像判断极值 例1.如下图，直线 与曲线 交于 、 两点，其中 是切点，记 ，，则下列判断正确的是(　　) A． 只有一个极值点 B． 有两个极值点，且极小值点小于极大值点 C． 的极小值点小于极大值点，且极小值为 D． 的极小值点大于极大值点，且极大值为 【答案】D 【解析】设切点 的坐标为 ，则由条件得 且当 时，；当 时， 当 时， ， 单调递增 当 时， ， 单调递减 当 时 有极大值，且极大值为 同理 有极小值，结合图形可得 的极小值点大于极大值点 选 D 变式1.函数 的导函数 的图象如图所示，则(　　) A． 是最小值点 B． 是极小值点 C． 是极小值点 D．函数 在 上单调递增 【答案】C 【解析】由图象得： 在 递增，在递减，在 递增 是极小值点 故选 C 2. 已知函数求极值 例2.【2020年陕西西安西安市第八十三中学高二上学期期末考试数学试卷（理）】若 是函数 的极值点，则 的极小值为(　　) A． B． C． D． 【答案】A 【解析】定义域为 ， ， 由已知：， 所以 ， 解得：， 所以 ， 所以当 ， 时，， 单调递增， 时，， 单调递减， 所以极小值为 ． 故选