专题2 平面向量基本定理及平面向量的应用（知识点串讲）--2020-2021学年高一数学下学期期末考点大串讲（人教A版2019·浙江）

2020-2021学年高一数学下学期期末考点大串讲（人教A版2019·浙江） 专题2 平面向量基本定理及平面向量的应用 【知识网格】 【知识讲练】 知识点一 平面向量基本定理 定理 条件 e1，e2是同一平面内的两个__不共线__向量 结论 对于这一平面内的__任意__向量a，__有且只有__一对实数λ1，λ2，使a＝__λ1e1＋λ2e2__ 基底 把__不共线__的向量e1，e2叫做表这一平面内所有向量的一组__基底__ 例1. （2021·浙江高一期末）已知向量 是不共线的两个向量， ． （1）若 ，当 时，求 的值． （2）若三点 共线，求实数t的值； 【变式训练1-1】（2021·浙江高一期末）已知在 中，点M为 上的点，且 ，若 ，则 （ ） A．1 B． C． D． 【变式训练1-2】（2021·浙江高一期末）如图，在菱形 中， ， ． （1）若 ，求 的值； （2）若菱形 的边长为 ，求 的取值范围． 【规律方法】 (1)由平面向量基本定理可知，在平面内任一向量都可以沿两个不共线的方向分解成两个向量的和，且这样的分解是唯一的，同一个非零向量在不同的基底下的分解式是不同的，而零向量的分解式是唯一的，即0＝λ1e1＋λ2e2，且λ1＝λ2＝0． (2)对于固定的e1，e2(向量e1与e2不共线)而言，平面内任一确定的向量的分解是唯一的，但平面内的基底却不唯一，只要平面内的两个向量不共线，就可以作为基底，它有无数组． (3)这个定理可推广为：平面内任意三个不共线的向量中，任何一个向量都可表示为其余两个向量的线性组合且形式唯一． 知识点二 平面向量的坐标运算 设向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，λ∈R，则有下表： 文字描述 符号表示 加法 两个向量和的坐标分别等于这两个向量相应坐标的__和__ a＋b＝__(x1＋x2，y1＋y2)__ 减法 两个向量差的坐标分别等于这两个向量相应坐标的__差__ a－b＝__(x1－x2，y1－y2)__ 数乘 实数与向量的积的坐标等于用这个实数乘原来向量的__相应坐标__ λa＝__(λx1，λy1)__ 向量坐 标公式 一个向量的坐标等于表示此向量的有向线段的终点的坐标减去起点的坐标 已知A(x1，y1)，B(x2，y2)，则eq \o(AB,\s\up6(→))＝__(x2－x1，y2－y1)__ 平面向量共线的坐标表示 设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，其中b≠0，当且仅当__x1y2＝x2y1__时，a∥b． 数量积 两个向量的数量积等于__它们对应坐标的乘积的和__，即a·b＝__x1x2＋y1y2__ 两个向量垂直 a⊥b⇔__x1x2＋y1y2＝0__ 模 |a|2＝__xeq \o\al(2,1)＋yeq \o\al(2,1)__或|a|＝　eq \r(x\o\al(2,1)＋y\o\al(2,1))　 模 设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则|eq \o(AB,\s\up6(→))|＝　eq \r(x2－x12＋y2－y12)　 夹角 cosθ＝eq \f(a·b,|a||b|)＝　eq \f(x1x2＋y1y2,\r(x\o\al(2,1)＋y\o\al(2,1))\r(x\o\al(2,2)＋y\o\al(2,2)))　(a，b为非零向量) 例2.【多选题】（2021·浙江高一期末）直角梯形 中， 是边长为2的正三角形， 是平面的动点， ，设 ，则 的值可以为（ ） A．0 B．1 C．2 D．3 【变式训练2-1】（2021·浙江高一期末）设 ，p：向量 与 的夹角为钝角，q： ，则p是q的（ ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【变式训练2-2】（2021·浙江高一期末）已知向量 ，则当 ________时，向量 ；当 ______时，向量 ． 【方法技巧】 1.向量的坐标运算主要是利用加法、减法、数乘运算法则进行，若已知有向线段两端点的坐标，则应先求出向量的坐标，要注意三角形法则及平行四边形法则的应用． 2.若是给出向量的坐标，解题过程中要注意方程思想的运用及正确使用运算法则． 3.两个向量共线条件的三种表示方法 已知a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)． (1)当b≠0时，a＝λb． 这是几何运算，体现了向量a与b的长度及方向之间的关系． (2)x1y2－x2y1＝0． 这是代数运算，用它解决向量共线问题的优点在于不需要引入参数“λ”，从而减少未知数的个数，而且使问题的解决具有代数化的特点和，程序化的特征． (3)当x2y2≠0时，eq \f(x1,x2)＝eq \f(y