第3讲 直线与平面间的位置关系（讲义）-【教育机构专用】2021年暑期新高二数学辅导讲义（沪教版2020必修第三册）

第3讲 直线与平面间的位置关系 【知识梳理】 一、空间中直线与平面的位置关系 1．直线与平面的位置关系 直线与平面的位置关系有且只有____三_____种： ①直线在平面内——有____无数____个公共点； ②直线与平面相交——有且只有一个公共点； ③__直线与平面平行___——没有公共点． 直线与平面相交或平行的情况统称为____直线在平面外_____． 2．直线与平面的位置关系的符号表示和图形表示 3．直线和平面位置关系的分类 （1）按公共点个数分类： ； （2）按是否平行分类： ； （3）按直线是否在平面内分类： ． 二、线面平行 （1）判定定理：如果不在一个平面内的一条直线和平面内的一条直线平行，那么这条直线和这个平面平行． （2）性质定理：如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线和交线平行． 三、线面垂直 （1）判定定理：如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直，那么这条直线垂直于这个平面． （2）性质定理：如果两条直线同垂直于一个平面，那么这两条直线平行． 四．距离定义： （1）点和平面的距离：过点作平面的垂线，垂足为，我们把点到垂足之间的距离叫做点和平面的距离． （2）直线和平面的距离：设直线平行于平面．在直线上任取一点，我们把点到平面的距离叫做直线和平面的距离． （3）设平面平行平面，在平面上任取一点，我们把点到平面的距离叫做平面和平面的距离． （4）异面直线和的距离：设直线和是异面直线，当点、分别在和上，且直线既垂直于直线，又垂直于直线时，我们把直线叫做异面直线和公垂线，，垂足、之间的距离叫做异面直线和的距离． 五．平面的斜线 当直线与平面相交且不垂直时，叫做直线与平面斜交，叫做平面的斜线. 斜线与平面的交点叫做斜足，斜线上一点与斜足间的线段叫做这个点到平面的斜线段． 六．射影 设直线与平面斜交于点，过上任意点，作平面的垂线，垂足为，我们把点叫做点在平面上的射影，直线叫做直线在平面上的射影． 射影长定理： 从平面外一点向这个平面所引的垂线段和斜线段中： （1）射影相等的两条斜线段相等，射影较长的斜线段也较长； （2）相等的斜线段的射影相等，较长的斜线段的射影也较长； （3）垂线段比任何一条斜线段都短． 五、直线和平面所成角 如图，是平面的一条斜线，点是斜足，是上任意一点，是的垂线，点是垂足，所以直线（记作）是在内的射影，（记作）是与所成的角． （1）定义：平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的角，叫做这条斜线和平面所成的角. 【规定】 （1）一条直线垂直于平面，定义这直线与平面所成的角是直角； （2）一条直线和平面平行，或在平面内，定义它和平面所成的角是的角． 【注意】 （1）直线与平面所成的角的大小与点在上的取法无关； （2）直线和平面所成角的范围是； （3）斜线和平面所成角的范围是． （2）直线与平面所成角求解方法： 第一步：作出斜线在平面上的射影，找到斜线与射影所成的角； 第二步：解含的三角形，求出其大小． 【例题解析】 知识点一：判断线面平行 例1．（2020·重庆万州纯阳中学校高二月考）在以下四个命题中：①直线与平面没有公共点，则直线与平面平行；②直线与平面内的任意一条直线都不相交，则直线与平面平行；③直线与平面内的无数条直线不相交，则直线与平面平行；④平面外的一条直线与平面内的一条直线平行，则直线与平面不相交.正确的命题是（ ） A．①② B．①②③ C．①③④ D．①②④ 【答案】D 【分析】根据线面平行的定义及判定定理可判断. 【详解】定义：一条直线与一个平面无公共点（不相交），称为直线与平面平行. 可知①②正确； 线面平行的判定定理：平面外的一条直线与平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行. 可知④正确； 当线在面内时，直线与平面内的无数条直线不相交（平行时），所以③不正确. 故选：D. 例2．（2020·黑龙江哈尔滨市·哈九中高二期中（理））已知直线和平面，那么能得出//的一个条件是（ ） A．存在一条直线，//且 B．存在一条直线，//且 C．存在一个平面，且// D．存在一个平面，//且// 【答案】C 【分析】根据线面平行的判定定理，可得结果. 【详解】在选项A，B，D中， 均有可能在平面内，错误； 在C中，两平面平行，则其中一个平面内的任意一条直线 都平行于另一个平面，故C正确 故选：C 【点睛】本题考查线面平行的判定，属基础题. 例3．（2020·福建三明市·高二期中）如图，在正方体ABCD－A′B′C′D′中，E，F分别为平面ABCD和平面A′B′C′D′的中心，则正方体的六个面中与EF平行的平面有(　　) A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】D 【详解】分析：由直线与平面平行的判定定理即可. 详解