第一讲 探究勾股定理(考点讲解)-2021-2022学年八年级数学上册同步考点讲练（北师大版）

第一讲 探究勾股定理 【学习目标】 1.经历勾股定理的探究过程，知道关于勾股定理的一些文化历史背景. 2.会用面积法来证明勾股定理，体会数形结合的思想. 3.会用勾股定理进行简单的计算. 【知识结构】 【考点总结】 一、勾股定理 (1)勾股定理的有关概念：如图所示，我们用勾(a)和股(b)分别表示直角三角形的两条直角边，用弦(c)来表示斜边． (2)勾股定理的内容：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方．即：勾2＋股2＝弦2. (3)勾股定理的表示方法：在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A，∠B，∠C的对边分别为a，b，c，则a2＋b2＝c2. 应用勾股定理的几个误区 (1)勾股定理的前提是直角三角形，对于非直角三角形的三边之间则不存在此种关系． (2)利用勾股定理时，必须分清谁是直角边，谁是斜边．尤其在记忆a2＋b2＝c2时，此关系式只有当c是斜边时才成立．若b是斜边，则关系式是a2＋c2＝b2；若a是斜边，则关系式是b2＋c2＝a2. (3)勾股定理有许多变形，如c是斜边时，由a2＋b2＝c2，得a2＝c2－b2，b2＝c2－a2等．熟练掌握这些变形对我们解决问题有很大的帮助． 二、勾股定理的验证 方法1：用四个相同的直角三角形(直角边为a，b，斜边为c)构成如图所示的正方形． 由“大正方形的面积＝小正方形的面积＋4个直角三角形的面积”，得 (a＋b)2＝c2＋4×ab. 化简可得：a2＋b2＝c2. 方法2：用四个相同的直角三角形(直角边为a，b，斜边为c)构成如图所示的正方形． 由“大正方形的面积＝小正方形的面积＋4个直角三角形的面积”，得 c2＝(b－a)2＋4×ab. 化简可得：a2＋b2＝c2. 方法3：用两个完全相同的直角三角形(直角边为a，b，斜边为c)构成如图所示的梯形． 由“梯形面积等于三个直角三角形面积之和”可得： (a＋b)(a＋b)＝2×ab＋c2. 化简可得：a2＋b2＝c2. 说明：勾股定理的验证还有很多方法． 三、利用勾股定理求长度 利用勾股定理求长度，关键是找出直角三角形或构造直角三角形，把实际问题转化为直角三角形的问题． 常见的方法有： (1)利用高(作垂线)构造直角三角形； (2)利用已知直角构造直角三角形； (3)利用勾股定理构造直角三角形． 已知直角三角形的两边，求第三边，关键是弄清已知什么边