第2讲 空间直线与直线间的位置关系（讲义）-【教育机构专用】2021年暑期新高二数学辅导讲义（沪教版2020必修第三册）

第2讲 空间直线与直线间的位置关系 【知识梳理】 一、空间两直线的位置关系 1．异面直线 （1）异面直线的定义：我们把不同在_任何一个平面内__的两条直线叫做异面直线． 即若a，b是异面直线，则不存在平面α，使aα且bα． （2）异面直线的画法：为了表示异面直线不共面的特点，通常用一个或两个平面衬托，如图： 2．空间两直线的位置关系 空间两条直线的位置关系有且只有三种：相交、平行和异面． （1）___相交直线 __——同一平面内，有且只有一个公共点； （2）__平行直线_____——同一平面内，没有公共点； （3）___异面直线______——不同在任何一个平面内，没有公共点． 3． 空间中两直线位置关系的分类 空间中两条直线的位置关系有以下两种分类方式： （1）从有无公共点的角度分类： （2）从是否共面的角度分类： 二、公理4与等角定理 1．公理4 （1）自然语言：平行于同一条直线的两条直线互相____平行______． （2）符号语言：a，b，c是三条不同的直线， a∥b，b∥c___a∥c ___． （3）作用：判断或证明空间中两条直线平行． 公理4表述的性质也通常叫做空间平行线的传递性． 用公理4证明空间两条直线平行的步骤 （1）找到直线； （2）证明，； （3）得到． 2．等角定理 （1）自然语言：空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角___相等或互补___． （2）符号语言： 如图（1）（2）所示，在∠AOB与∠A′O′B′中，OA∥O′A′，OB∥O′ B′，则∠AOB=∠A′O′B′或∠AOB+∠A′O′B′=180°． 图（1） 图（2） 三、异面直线所成的角 1．两条异面直线所成的角的定义 如图，已知两异面直线a，b，经过空间任一点O，分别作直线a′∥a，b′∥b，相交直线a′，b′所成的 锐角（或直角） 叫做异面直线a与b所成的角（或夹角）． （1）在定义中，空间一点O是任取的，根据等角定理，可以判定a′，b′所成的角的大小与点O的位置无关．为了简便，点O常取在两条异面直线中的一条上． （2）研究异面直线所成的角，就是通过平移把异面直线转化为相交直线，即把求空间角问题转化为求平面角问题，这是研究空间图形的一种基本思路． 2．异面直线所成的角的范围 异面直线所成的角必须是锐角或直角，则这个角α的取值范围为_____． 3．两条异面直线垂直的定义 如果两条异面直线所成的角是__直角__，那么我们就说这两条直线互相垂直．两条互相垂直的异面直线a，b，记作a⊥b． 4．构造异面直线所成角的方法 （1）过其中一条直线上的已知点（往往是特殊点）作另一条直线的平行线； （2）当异面直线依附于某几何体，且直接平移异面直线有困难时，可利用该几何体的特殊点，将两条异面直线分别平移相交于该点； （3）构造辅助平面、辅助几何体来平移直线．注意，若求得的角为钝角，则两异面直线所成的角应为其补角． 5．求两条异面直线所成的角的步骤 （1）平移：选择适当的点，平移异面直线中的一条或两条，使其成为相交直线； （2）证明：证明作出的角就是要求的角； （3）计算：求角度（常利用三角形的有关知识）； （4）结论：若求出的角是锐角或直角，则它就是所求异面直线所成的角；若求出的角是钝角，则它的补角就是所求异面直线所成的角． 【例题解析】 知识点一：空间两直线的位置关系的判断 空间两直线的位置关系有平行、相交、异面三种情形，因此对于空间两直线位置关系的判断，应由题意认真分析，进而确定它们的位置关系． 例1．（2020·怀仁县大地学校高二月考（理））如果直线与没有公共点 ，那么直线与的位置关系是（ ） A．异面 B．平行 C．相交 D．平行或异面 【答案】D 【分析】由空间中两条直线的位置关系可判断． 【详解】由空间中两条直线的位置关系可知：直线与没有公共点，则它们平行或异面. 故选：D． 例2.（2020·北京高二学业考试）如图，正方体的棱，，，所在的直线中，与直线成异面直线的是（ ） A．直线 B．直线 C．直线 D．直线 【答案】C 【分析】由异面直线的概念，逐项判断即可得解. 【详解】由题意，直线、、均与直线相交， 由异面直线的概念可得直线与直线成异面直线. 故选：C. 例3.（2020·重庆十八中高二期中）若直线与平面相交，则下列说法正确的是（ ） A．平面内的每条直线都与相交 B．平面内存在直线与平行 C．平面内存在直线与垂直 D．平面内的每条直线都与异面 【答案】C 【分析】根据直线与直线的位置关系逐个分析可得答案. 【详解】若直线与平面相交，则平面内经过交点的每条直线都与相交，平面内不经过交点的每条直线都