第一讲 探究勾股定理(提升训练)-2021-2022学年八年级数学上册同步考点讲练（北师大版）

第一讲 探究勾股定理 【提升训练】 一、单选题 1．如图，在四边形中，，，，，，点是的中点，则的长为（ ）． A．2 B． C． D．3 【答案】C 【分析】 延长BE交CD延长线于P，可证△AEB≌△CEP，求出DP，根据勾股定理求出BP的长，从而求出BM的长． 【详解】 解：延长BE交CD延长线于P， ∵AB∥CD， ∴∠EAB＝∠ECP， 在△AEB和△CEP中， ∴△AEB≌△CEP（ASA） ∴BE＝PE，CP＝AB＝5 又∵CD＝3， ∴PD=2， ∵ ∴ ∴BM＝BP＝． 故选：C． 【点睛】 考查了全等三角形的判定和性质和勾股定理，解题的关键是得恰当作辅助线构造全等，依据勾股定理求出BP． 2．在中，，是内一点，且，，则的值为（ ） A． B． C．或 D． 【答案】D 【分析】 先依据题意作图形，再结合图形进行分析，在等腰直角△ABC中，已知PA、PC，通过辅助线求出AD，DC及PD边的长，进而PB可求． 【详解】 解：如图所示，过点B作BE⊥AC，过点P作PD，PF分别垂直AC，BE， 则四边形为矩形， 在△APD中，=5， 在△PCD中，，且AD+CD=5， 解得：AD=，CD=，PD=， 在Rt△ABC中， BE=AE=， 所以在Rt△BPF中，==10， ∴PB=． 故选：D． 【点睛】 本题考查了勾股定理，等腰三角形的性质，熟练掌握勾股定理的运用．会画出简单的图形辅助解题． 3．如图，点A，B是棱长为1的立方体的两个顶点，若将该立方体按图中所示展开，则在展开图中，A，B两点间的距离是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】 连接AB，根据Rt△ABC和勾股定理可得出AB两点间的距离． 【详解】 解：如图，在Rt△ABC中，AC=1，BC=2， 可得：AB=， 故选：C． 【点睛】 本题考查了勾股定理，得出正方体上A、B两点间的距离为直角三角形的斜边是解题关键． 4．如图是按照一定规律“生长”的“勾股树”： 经观察可以发现：图（1）中共有3个正方形，图（2）在图（1）的基础上增加了4个正方形，图（3）在图（2）的基础上增加了8个正方形，……，照此规律“生长”下去，图（6）应在图（5）的基础上增加的正方形的个数是（ ） A．12 B．32 C．64 D．128 【答案】C 【分析】 通过观察已知图形可以发现：图（2）比图（1）多出4个正方形，图（3）比图（2）多出8个正方形，图（4）比图（3）多出16个正方形，……，以此类推可得图形的变换规律． 【详解】 解：由题可得， 图（2）比图（1）多出4个正方形， 图（3）比图（2）多出8个正方形， ； 图（4）比图（3）多出16个正方形， ； 图（5）比图（4）多出32个正方形， ； 照此规律，图（n）比图（n-1）多出正方形的个数为： 故图（6）比图（5）多出正方形的个数为：； 故答案为：C． 【点睛】 此题考查了图形的变化类问题，主要考核学生的观察能力和空间想象能力．首先应找出图形哪些部分发生了变化，是按照什么规律变化的，通过分析找到各部分的变化规律后直接利用规律求解．探寻规律要认真观察、仔细思考，善用联想来解决这类问题． 5．如图来自古希腊数学家希波克拉底所研究的几何图形，此图由三个半圆构成，三个半圆的直径分别为直角三角形的斜边，直角边，．若的三边所围成的区域面积记为，黑色部分面积记为，其余部分面积记为，则下列关系式正确的是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】 根据面积的和差关系表示出与，与的关系，再利用勾股定理即可得答案． 【详解】 ∵的三边所围成的区域面积记为，黑色部分面积记为，其余部分面积记为， ∴==， =， ∵在Rt△ABC中，， ∴， 故选：A． 【点睛】 本题考查了勾股定理及圆的面积公式；熟练掌握勾股定理，正确表示出各图形的面积关系是解题的关键． 6．如图，在中，，，，D为边上一点，将沿折叠，若点B恰好落在线段的延长线上点E处，则的长为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】 利用勾股定理求出AC，根据折叠的性质得到AE，从而可得CE，在△CDE中利用勾股定理求出DE即可． 【详解】 解：∵∠ACB=90°，AB=13，BC=12， ∴AC==5， 由折叠可知：AB=AE=13，BD=DE， ∴CE=AE-AC=8， ∵BC=CD+BD=CD+DE， ∴CD=BC-DE=12-DE， ∴在△CDE中，， 解得：DE=， 故选C． 【点睛】 本题考查了折叠问题，勾股定理，解题的关键是利用折叠的性质得到相等线段，利用勾股定理求出线段． 7．七巧板是大家熟悉的一种益智玩具，用七巧极能拼出许多有趣的图案，小聪将一块等腰直角三角形硬纸板（如图①）切割