专项整合练练作业01 基本不等式-2021年高一数学暑假作业（人教A版2019）

作业01 基本不等式 1．已知某旅游城市在过去的一个月内（以30天计），第t天 的旅游人数 （万人）近似地满足 ，而人均消费 （元）近似地满足 ．则求该城市旅游日收益的最小值是（ ） A．480 B．120 C．441 D．141 【答案】C 【解析】记旅游日收益为 ， 当 时， , ， 所以 ，所以 所以 ，取等号时 ； 当 时， ， ， 所以 ，显然 在 上单调递减， 所以 ， 由上可知：旅游日收益的最小值为 万元，故选：C. 2．设 （ 、 为互不相等的正实数）， ，则 与 的大小关系是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】因为 、 为互不相等的正实数，则 ， ，因此， .故选：A. 3．已知正数a，b满足 ，则 的最小值为（ ） A．8 B．10 C．9 D．6 【答案】A 【解析】因为正数a，b满足 ，所以 ，当且仅当 ，即 ， 时取等号，故选：A 4．已知非负数 满足 ，则 的最小值是（ ） A．3 B．4 C．10 D．16 【答案】B 【解析】由 ，可得 ， 当且仅当 取等号，故选：B 5．如图，在 中，点 满足 ，过点 的直线分别交直线 、 于不同的两点 、 ．设 ， ，则 的最小值是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】因为 ，所以 ， 因为 ， ，所以 ， 因为 、 、 三点共线，所以 ， ， 则 ， 当且仅当 时等号成立， 故 的最小值是 ，故选：D. 6．已知 的面积是 （其中b，c为 的边长），则 的形状为（ ） A．等边三角形 B．是直角三角形但不是等腰三角形 C．是等腰三角形但不是直角三角形 D．等腰直角三角形 【答案】D 【解析】依题意 的面积是 ，则 ， ，由于 ，所以 ， 由基本不等式可知 ，当且仅当 时等号成立， 所以 ， ，三角形 是等腰直角三角形.故选：D 7．已知定义在 上的函数 满足 ，且当 时， .若对任意 ，都有 成立，则 的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】当 时， ， 当且仅当 ，即 时取等号. 当 时， ，则 EMBED Equation.DSMT4 ， 当且仅当 ，即 时取等号，此时 成立. 当 时， ，则 EMBED Equation.DSMT4 ， 当且仅当 ，即 时取等号. 令 ，则 ， 在 上单调递减，在 上单调递增. 令 ，则 ，解得 或 ，即 或 ，即 或 . 所以当 时，都有 成立，故 的取值范围是 ， 故选：B. 8．已知 ， ，且 ，则 的最小值为（ ） A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】D 【解析】因为 ，当且仅当 ，即 时取等号，所以 ，故选：D. 9．如图直线 过 的重心 （三条中线的交点），与边 、 交于点 、 ，且 ， ，直线 将 分成两部分，分别为 和四边形 ，其对应的面积依次记为 和 ，则以下结论正确的是（ ） A． B． C． 的最大值为 D． 的最大值为 【答案】BC 【解析】因为 是 的重心，所以 ， 因为 ， ，所以 ， 因为 、 、 三点共线，所以 ， ，B正确， 因为 ， ， 所以 ， ， ， 因为 ， ，所以 ， 即 ， ，当且仅当 时取等号， 故 ，C正确，故选：BC. 10．已知 ，则下列不等式正确的是（ ） A． B． C． D． 【答案】AD 【解析】因为 ，所以 ， 对于A，因为 ，所以 ， ，所以 ，所以A正确； 对于B，因为 ，所以 ，因为 在 上为增函数，所以 ，所以B错误； 对于C，因为 ，所以 ，若 成立，则 ，所以 ，所以 ，则 ，所以 ，这与 相矛盾，所以C错误； 对于D，因为 ，所以 ，所以 ，因为 ，所以等号不成立，所以 ，所以D正确，故选：AD 11．(多选)下列求最值的运算中，运算方法错误的有（ ） A．当 时， ，故 时的最大值是 . B．当 时， ，当且仅当 取等，解得 或 ，又由 ，所以取 ，故 时，的最小值为 . C．由于 ，故 的最小值是2. D．当 ，且 时，由于 ， ，又 ，故当 ，且 时， 的最小值为4. 【答案】BCD 【解析】A中，根据基本不等式，可判定A是正确的； B中，当 时， ，当且仅当 取等，即 时，最小值为 ，故B不正确； C中，由于 ， 当且仅当 ，即 时，此时不成立，故C不正确； D中，两次基本不等式的等号成立条件不相同，第一次是 ，第二次是 ，故D不正确. 故选：BCD 12．下列推导过程，正确的为 （ ） A．因为 、 为正实数，所以 B．因为 ，所以 C． ，所以 D．因为 、 ， ，所以 【答案】AD 【解析】对于A选项，因为 、 为正实数，则 、 为正实数， 由基本不等式可得 ，当且仅当 时，等号成立，A选项正确；