第10讲 双曲线-【暑假辅导班】2021年新高二数学暑假精品课程（人教A版）

第10讲 双曲线 【学习目标】 1. 理解和掌握双曲线的定义，以及双曲线标准方程的推导； 2．会根据所给的条件画出双曲线的草图并求出双曲线的标准方程。 3.掌握双曲线的性质，明确离心率，渐近线等概念. 【基础知识】 1．双曲线的定义 平面内与两个定点F1，F2的距离的差的绝对值等于非零❶常数(小于|F1F2|)❷的点的轨迹叫做双曲线．这两个定点叫做双曲线的焦点，两焦点间的距离叫做双曲线的焦距． 集合P＝{M|||MF1|－|MF2||＝2a}，|F1F2|＝2c，其中a，c为常数且a＞0，c＞0. 2．双曲线的标准方程和几何性质 标准方程 (a＞0，b＞0) (a＞0，b＞0) 图形 性 质 范围 x≤－a或x≥a，y∈R y≤－a或y≥a，x∈R 对称性 对称轴：坐标轴 对称中心：原点 顶点 顶点坐标：A1(－a,0)，A2(a,0) 顶点坐标：A1(0，－a)，A2(0，a) 渐近线 y＝± x y＝± x 离心率 e＝ ，e∈(1，＋∞) a，b，c的关系 c2＝a2＋b2 实虚轴 线段A1A2叫做双曲线的实轴，它的长|A1A2|＝2a； 线段B1B2叫做双曲线的虚轴，它的长|B1B2|＝2b； a叫做双曲线的实半轴长，b叫做双曲线的虚半轴长 若将双曲线的定义中的“差的绝对值等于常数”中的“绝对值”去掉，则点的集合是双曲线的一支，具体是左支还是右支视情况而定． 设双曲线上的点M到两焦点F1，F2的距离之差的绝对值为2a，则0＜2a＜|F1F2|，这一条件不能忽略． ①若2a＝|F1F2|，则点M的轨迹是分别以F1，F2为端点的两条射线； ②若2a＞|F1F2|，则点M的轨迹不存在； ③若2a＝0，则点M的轨迹是线段F1F2的垂直平分线. 3.常用结论 1．双曲线的焦点到其渐近线的距离为b. 2．若P是双曲线右支上一点，F1，F2分别为双曲线的左、右焦点，则|PF1|min＝a＋c，|PF2|min＝c－a. 3．同支的焦点弦中最短的为通径(过焦点且垂直于长轴的弦)，其长为 ；异支的弦中最短的为实轴，其长为2a. 4．若P是双曲线上不同于实轴两端点的任意一点，F1，F2分别为双曲线的左、右焦点，则S△PF1F2＝ ，其中θ为∠F1PF2. 5．若P是双曲线 (a＞0，b＞0)右支上不同于实轴端点的任意一点，F1，F2分别为双曲线的左、右焦点，I为△PF1F2内切圆的圆心，则圆心I的横坐标为定值a. 6．等轴双曲线 (1)定义：中心在原点，以坐标轴为对称轴，实半轴长与虚半轴长相等的双曲线叫做等轴双曲线． (2)性质：①a＝b；②e＝ ；③渐近线互相垂直；④等轴双曲线上任意一点到中心的距离是它到两焦点距离的等比中项． 7．共轭双曲线 (1)定义：如果一条双曲线的实轴和虚轴分别是另一条双曲线的虚轴和实轴，那么这两条双曲线互为共轭双曲线． (2)性质：①它们有共同的渐近线；②它们的四个焦点共圆；③它们的离心率的倒数的平方和等于1. 【考点剖析】 考点一：双曲线的标准方程 1．(2021·绵阳联考)已知双曲线C： (a＞0，b＞0)的渐近线方程为y＝± x，且其右焦点为(5,0)，则双曲线C的标准方程为(　　) A. 　　　　　　　 B. C. D. 【答案】B 【解析】由题意得 ＝ ，c2＝a2＋b2＝25，所以a＝4，b＝3，所以所求双曲线的标准方程为 . 2．与椭圆 ＋y2＝1共焦点且过点P(2,1)的双曲线标准方程是(　　) A. －y2＝1 B. －y2＝1 C. － ＝1 D．x2－ ＝1 【答案】B 【解析】法一：椭圆 ＋y2＝1的焦点坐标是(± ，0)． 设双曲线标准方程为 (a＞0，b＞0)， 因为双曲线过点P(2,1)， 所以 ，又a2＋b2＝3， 解得a2＝2，b2＝1，所以所求双曲线标准方程是 －y2＝1. 法二：设所求双曲线标准方程为 (1＜λ＜4)， 将点P(2,1)的坐标代入可得 ， 解得λ＝2(λ＝－2舍去)， 所以所求双曲线标准方程为 －y2＝1. 3．过双曲线C： (a＞b＞0)的右顶点作x轴的垂线，与C的一条渐近线相交于点A.若以C的右焦点F为圆心、半径为4的圆经过A，O两点(O为坐标原点)，则双曲线C的标准方程为(　　) A. B. C. D. 【答案】A 【解析】因为渐近线y＝ x与直线x＝a交于点A(a，b)，c＝4且 ＝4，解得a2＝4，b2＝12，因此双曲线的标准方程为 . 4．经过点P(3,2 )，Q(－6 ，7)的双曲线的标准方程为____________． 【答案】 【解析】设双曲线方程为mx2＋ny2＝1(mn＜0)，因为所