第01讲 等差数列-【暑假辅导班】2021年新高二数学暑假精品课程（人教A版）

第01讲 等差数列及前n项和 【学习目标】 1．了解等差数列的概念及特征； 2. 掌握等差数列通项公式推导方法； 3. 学会用逆向求和的方法推导等差数列的和通项公式； 4.能灵活运用等差数列的通项公式与和通项公式求解一般数列。 【基础知识】 1． 等差数列的定义 如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差是同一个常数，我们称这样的数列为等差数列，这个常数叫作等差数列的公差，通常用字母__d__表示． 2． 等差数列的通项公式 如果等差数列{an}的首项为a1，公差为d，那么它的通项公式是an＝a1＋(n－1)d. 3． 等差中项 如果A＝ ，那么A叫作a与b的等差中项． 4． 等差数列的常用性质 (1)通项公式的推广：an＝am＋(n－m)d，(n，m∈N＋)． (2)若{an}为等差数列，且k＋l＝m＋n，(k，l，m，n∈N＋)，则ak＋al＝am＋an. (3)若{an}是等差数列，公差为d，则{a2n}也是等差数列，公差为2d. (4)若{an}，{bn}是等差数列，则{pan＋qbn}也是等差数列． (5)若{an}是等差数列，公差为d，则ak，ak＋m，ak＋2m，…(k，m∈N＋)是公差为md的等差数列． 5． 等差数列的前n项和公式 设等差数列{an}的公差为d，其前n项和Sn＝ 或Sn＝na1＋ d. 6． 等差数列的前n项和公式与函数的关系 Sn＝ n2＋ n. 数列{an}是等差数列⇔Sn＝An2＋Bn(A、B为常数)． 7． 等差数列的前n项和的最值 在等差数列{an}中，a1>0，d<0，则Sn存在最__大__值；若a1<0，d>0，则Sn存在最__小__值． 难点正本　疑点清源 1．等差数列的判断方法 (1)定义法：an－an－1＝d (n≥2)； (2)等差中项法：2an＋1＝an＋an＋2. 2．等差数列与等差数列各项和的有关性质 (1)am，am＋k，am＋2k，am＋3k，…仍是等差数列，公差为kd. (2)数列Sm，S2m－Sm，S3m－S2m，…也是等差数列． (3)S2n－1＝(2n－1)an. (4)若n为偶数，则S偶－S奇＝ d. 若n为奇数，则S奇－S偶＝a中(中间项)． 3．等差数列与函数 在d≠0时，an是关于n的一次函数，一次项系数为d；Sn是关于n的二次函数，二次项系数为，且常数项为0. 【考点剖析】 考点一等差数列基本量的运算 1．(2018·全国卷Ⅰ)记Sn为等差数列{an}的前n项和，若3S3＝S2＋S4，a1＝2，则a5＝(　　) A．－12　　　　　　　　　 B．－10 C．10 D．12 【答案】B 【解析】设等差数列{an}的公差为d，由3S3＝S2＋S4，得3(3a1＋3d)＝2a1＋d＋4a1＋6d，即3a1＋2d＝0.将a1＝2代入上式，解得d＝－3，故a5＝a1＋(5－1)d＝2＋4×(－3)＝－10. 2．(2017·全国卷Ⅰ)记Sn为等差数列{an}的前n项和．若a4＋a5＝24，S6＝48，则{an}的公差为(　　) A．1 B．2 C．4 D．8 【答案】C 【解析】设等差数列{an}的公差为d， 则由 得 即 解得d＝4. 3．(2021·西安质检)已知等差数列{an}的前n项和为Sn，且a3·a5＝12，a2＝0.若a1＞0，则S20＝(　　) A．420 B．340 C．－420 D．－340 【答案】D 【解析】设数列{an}的公差为d，则a3＝a2＋d＝d，a5＝a2＋3d＝3d，由a3·a5＝12，得d＝±2，由a1＞0，a2＝0，可知d＜0，所以d＝－2，所以a1＝2，故S20＝20×2＋ ×(－2)＝－340. 4．(2021·西安八校联考)设数列{an}是等差数列，且a2＝－6，a6＝6，Sn是数列{an}的前n项和，则(　　) A．S4＜S3 B．S4＝S3 C．S4＞S1 D．S4＝S1 【答案】B 【解析】设{an}的公差为d，由a2＝－6，a6＝6，得 解得 于是，S1＝－9，S3＝3×(－9)＋ ×3＝－18，S4＝4×(－9)＋ ×3＝－18，所以S4＝S3，S4＜S1，故选B. 考点二：等差数列的判定与证明 例1．若数列{an}的前n项和为Sn，且满足an＋2SnSn－1＝0(n≥2)，a1＝. (1)求证：成等差数列； (2)求数列{an}的通项公式． 【解析】(1)证明：当n≥2时，由an＋2SnSn－1＝0， 得Sn－Sn－1＝－2SnSn－1， 因为Sn≠0，所以－＝2， 又＝＝2， 故是首项为2，公差为2的等差数列． (2)由(1)可得＝2n，所以Sn＝. 当n≥2时， an＝Sn－Sn－1＝－＝ 当n＝1时，a1＝不适合上式．故a