第八讲 三角形单元小结与复习 -【暑假辅导班】2021年新八年级数学上册暑假精品课程（人教版）

第八讲 三角形单元小结与复习 【单元知识结构】 【单元知识点总结】 知识点一：三角形的定义和分类 1.三角形的定义：由不在同一直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形。 2.三角形的分类： （1）按照角分类有锐角三角形、直角三角形、钝角三角形。 （2）按照边分类有不等边三角形和等腰三角形（等边三角形） 知识点二：三角形三边的关系 定理：三角形任意两边的和大于第三边. 推论：三角形任意两边的差小于第三边. （1）理论依据：两点之间线段最短. （2）三边关系的应用：判断三条线段能否组成三角形，若两条较短的线段长之和大于最长线段的长，则这三条线段可以组成三角形；反之，则不能组成三角形．当已知三角形两边长，可求第三边长的取值范围． （3）证明线段之间的不等关系. 知识点三：三角形的高、中线与角平分线 1．三角形的高。从三角形的一个顶点向它的对边所在直线作垂线，顶点和垂足之间的线段叫做三角形的高线，简称三角形的高． 三角形的高的数学语言： 如下图，AD是ΔABC的高，或AD是ΔABC的BC边上的高，或AD⊥BC于D，或∠ADB＝∠ADC＝∠90°. 注意：AD是ΔABC的高∠ADB＝∠ADC＝90°(或AD⊥BC于D)； （1）三角形的高是线段； （2）三角形有三条高，且相交于一点，这一点叫做三角形的垂心； （3）三角形的三条高： (ⅰ)锐角三角形的三条高在三角形内部，三条高的交点也在三角形内部； (ⅱ)钝角三角形有两条高在三角形的外部，且三条高的交点在三角形的外部； (ⅲ)直角三角形三条高的交点是直角的顶点. 2．三角形的中线。三角形的一个顶点与它的对边中点的连线叫三角形的中线． 三角形的中线的数学语言： 如下图，AD是ΔABC的中线或AD是ΔABC的BC边上的中线或BD＝CD＝BC. （1）三角形的中线是线段； (2)三角形三条中线全在三角形内部； (3)三角形三条中线交于三角形内部一点，这一点叫三角形的重心； (4)中线把三角形分成面积相等的两个三角形. 3．三角形的角平分线。三角形一个内角的平分线与它的对边相交，这个角的顶点与交点之间的线段叫做三角形的角平分线. 三角形的角平分线的数学语言： 如下图，AD是ΔABC的角平分线，或∠BAD＝∠CAD且点D在BC上. 注意：AD是ΔABC的角平分线∠BAD＝∠DAC＝∠BAC (或∠BAC＝2∠BAD＝2∠DAC) . （1）三角形的角平分线是线段； （2）一个三角形有三条角平分线，并且都在三角形的内部； （3）三角形三条角平分线交于三角形内部一点，这一点叫做三角形的内心； （4）可以用量角器或圆规画三角形的角平分线. 知识点四：三角形的稳定性 三角形的形状是固定的，三角形的这个性质叫三角形的稳定性。 知识点五：三角形的内角和定理： 三角形三个内角和等于180°。 推论： ①直角三角形的两个锐角互余。 ②三角形的一个外角等于和它不相邻的来两个内角的和。 ③三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角。 注：在同一个三角形中：等角对等边；等边对等角；大角对大边；大边对大角。 知识点六：多边形问题 1.多边形：在平面内，由一些线段首尾顺次相接组成的图形叫做多边形。 2.多边形的内角：多边形相邻两边组成的角叫做它的内角。 3.多边形的外角：多边形的一边与它的邻边的延长线组成的角叫做多边形的外角。 4.多边形的对角线：连接多边形不相邻的两个顶点的线段，叫做多边形的对角线。 5.正多边形：在平面内，各个角都相等，各条边都相等的多边形叫做正多边形。 6.平面镶嵌：用一些不重叠摆放的多边形把平面的一部分完全覆盖，叫做用多边形覆盖平面。 7.多边形内角和公式：n边形的内角和等于（n-2）·180° 8.多边形的外角和：多边形的外角和为360°。 9.多边形对角线的条数： （1）从n边形的一个顶点出发可以引（n-3）条对角线，把多边形分词（n-2）个三角形。 （2）n边形共有n(n-3)/2条对角线。 【例题解析】 【例题1】已知三角形两边的长分别是12和27，则此三角形第三边的长可能是（　　） A．1 B．16 C．8 D．41 【答案】B． 【解析】根据三角形的三边关系可得27﹣12＜x＜27+12，再解即可． 设三角形第三边的长为x，由题意得：27﹣12＜x＜27+12， 15＜x＜39 【例题2】在一个三角形中，一个外角是其相邻内角的2倍，那么这个外角是（　　） A.150° B.135° C.120° D. 100° 【答案】C． 【解析】设这个内角为α，则与其相邻的外角为2α，根据邻补角的和等于180°列式进行计算即可得解． 设这个内角为α，则与其相邻的外角为2α， 所以，α+2α=180°， 解得α=60°， 2α=2×60°=