第七讲 多边形的内角和-【暑假辅导班】2021年新八年级数学上册暑假精品课程（人教版）

第七讲 多边形的内角和 【学习目标】 1.能通过不同的方法探索多边形的内角和与外角和公式. 2.会应用多边形的内角和与外角和公式进行有关计算. 【新课讲解】 知识点1：多边形的内角和 问题1：三角形内角和是多少度？三角形内角和 是180°. 问题2：你知道长方形和正方形的内角和是多少 度？都是360°. 问题3：猜想任意四边形的内角和是多少度？ 猜想：四边形ABCD的内角和是360°. 证明：方法1 如图，连接AC, 所以四边形被分为两个三角形， 所以四边形ABCD内角和为180°×2=360°. 【例题1】如图，在四边形ABCD中，∠A与∠C互补，BE平分∠ABC，DF平分∠ADC，若BE∥DF，求证：△DCF为直角三角形． 证明：∵在四边形ABCD中，∠A与∠C互补， ∴∠ABC+∠ADC=180°， ∵BE平分∠ABC，DF平分∠ADC， ∴∠CDF+∠EBF=90°， ∵BE∥DF，∴∠EBF=∠CFD， ∴∠CDF+∠CFD=90°， 故△DCF为直角三角形． 问题4 根据下列表格探究n边形内角和公式 多边形的内角和公式： n边形内角和等于(n-2)×180 °. 【例题2】一个同学在进行多边形的内角和计算时，求得内角和为1125°，当他发现错了以后，重新检查，发现少算了一个内角，问这个内角是多少度？他求的是几边形的内角和？ 【答案】内角是135°，九边形． 【解析】多边形的内角的度数在0°—180°之间. 设此多边形的内角和为x， 则有1125°＜x＜1125°＋180°， 即180°×6＋45°＜x＜180°×7＋45°， 因为x为多边形的内角和，所以它是180°的倍数， 所以x＝180°×7＝1260°. 所以7＋2＝9，1260°－1125°＝135°. 因此，漏加的这个内角是135°，这个多边形是九边形． 知识点2：多边形的外角和 如图，在五边形的每个顶点处各取一个外角，这些外角的和叫做五边形的外角和． 问题1：任意一个外角和它相邻的内角有什么关系？ 答：互补 问题2：五个外角加上它们分别相邻的五个内角和是多少？ 答：5×180°=900° 问题3：这五个平角和与五边形的内角和、外角和有什么关系？ 答：五边形外角和=5个平角－五边形内角和 =5×180°－(5－2) × 180° =360 ° 结论：五边形的外角和等于360°. 探究：在n边形的每个顶点处各取一个外角，这些外角的和叫做n边形的外角和． n边形外角和 =n个平角-n边形内角和 = n×180 °－(n－2) × 180° =360 ° 结论：n边形的外角和等于360°. 【例题3】一个正多边形的一个外角比一个内角大60°，求这个多边形的每个内角的度数及边数． 【答案】见解析。 【解析】设该正多边形的内角是x°，外角是y°， 则得到一个方程组 解得 而任何多边形的外角和是360°， 则该正多边形的边数为360÷120=3， 故这个多边形的每个内角的度数是60°，边数是三条． 课堂小结 多边形的内角和定理 (n-2) × 180 °(n ≥3的整数） 多边形的外角和定理 多边形的外角和等于360°. 特别注意：与边数无关. 正多边形 内角=(n-2) × 180 °/n，外角=360 °/n. 多边形的内角和问题新课程过关检测 满分100分，答题时间60分钟 一、选择题（本大题5小题，每小题4分，共20分） 1. 若一个正多边形的一个内角是108°,则这个正多边形的边数为 A.8 B.7 C.6 D.5 【答案】D 【解析】设这个正多边形的边数为n,则 ,解得n=5,所以这个正多边形的边数 为5. 2.一个多边形从一个顶点可引对角线3条，这个多边形内角和等于( ) A. B. C. D. 【答案】C 【解析】从一个顶点可引对角线3条，多边形的边数为． 多边形的内角和．故选：C． 3.若一个正n边形的每个内角为，则这个正n边形的所有对角线的条数是( ) A. 7 B. 10 C. 35 D. 70 【答案】C 【解析】一个正n边形的每个内角为，，解得：． 这个正n边形的所有对角线的条数是： 4.如图，多边形ABCDEFG中，，，则的值（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】连接CD， 五边形CDEFG的内角和为：， ， ， ，故选B． 5.如图，五边形ABCDE中，，，，分别是，，的补角，若，，则等于（ ） A. B. C. D. 无法确定 【答案】B 【解析】如图，延长AE，CD相交于点F， ，． 又，，，．故选B． 二、填空题（本大题7个小题，每空4分，共