第四讲 三角形的内角和 -【暑假辅导班】2021年新八年级数学上册暑假精品课程（人教版）

第四讲 三角形的内角和 【学习目标】 1.会用平行线的性质与平角的定义证明三角形内角和等于180°. 2.会运用三角形内角和定理进行计算. 【新课讲解】 知识点1：三角形的内角和定理 三角形三个内角的和等于180°. 【例题1】证明：三角形三个内角的和等于180°. 已知：△ABC 求证：∠A+∠B+∠C=180°. 证法1：过点A作l∥BC， ∴∠B=∠1.(两直线平行,内错角相等) ∠C=∠2.(两直线平行,内错角相等) ∵∠2+∠1+∠BAC=180°， ∴∠B+∠C+∠BAC=180°. 证法2：延长BC到D，过点C作CE∥BA， ∴ ∠A=∠1 .(两直线平行，内错角相等) ∠B=∠2.(两直线平行，同位角相等) 又∵∠1+∠2+∠ACB=180°， ∴∠A+∠B+∠ACB=180°. 注意：作辅助线与转化思想 （1）在这里，为了证明的需要，在原来的图形上添画的线叫做辅助线.在平面几何里，辅助线通常画成虚线. （2）为了证明三个角的和为180°,转化为一个平角或同旁内角互补等，这种转化思想是数学中的常用方法. 知识点2：三角形的内角和定理的运用 【例题2】在△ABC 中， ∠A 的度数是∠B 的度数的3倍，∠C 比∠B 大15°，求∠A，∠B，∠C的度数. 【答案】 ∠A， ∠B， ∠C的度数分别为99°， 33°，48°. 【解析】设∠B为x°，则∠A为(3x)°， ∠C为(x ＋ 15)°， 从而有 3x ＋ x ＋(x ＋ 15)＝180. 解得 x＝33. 所以 3x＝99 ， x＋15＝48. 【例题3】如图，在△ABC中，∠B=42°，∠C=78°，AD平分∠BAC．求∠ADC的度数. 【答案】72° 【解析】∵∠B=42°，∠C=78°， ∴∠BAC=180°-∠B-∠C=60°. ∵AD平分∠BAC， ∴∠CAD=∠BAC=30°， ∴∠ADC=180°-∠B-∠CAD=72°. 【例题4】如图,一艘渔船在B处测得灯塔A在北偏东60的方向,另一艘渔船在C处测得灯塔A在其北偏东30°的方向,若观测员在灯塔A处观测渔船B和C,此时他的视角∠BAC是多少? 【答案】见解析。 【解析】如图所示,过点C作CF⊥BE 由题意,得∠DBA=60°,∠FCA=30，∠ABC=∠DBC-∠DBA=90-60°=30° ∠ACB=∠BCF+∠FCA=90°+30°=120° 由三角形的内角和定理,得∠BAC=180°-∠ABC-∠BCA=180°-30°-120°=30°. 故观测员的视角∠BAC是30 三角形的内角和问题新课程过关检测 满分100分，答题时间60分钟 一、选择题（本大题有8小题，每小题4分，共32分） 1.在△ABC中，若∠A=95°，∠B=40°，则∠C的度数为（　　） A．35° B．40° C．45° D．50° 【答案】C． 【解析】本题考查了三角形内角和定理，利用三角形内角和定理：三角形内角和是180°是解答此题的关键． 在△ABC中，根据三角形内角和是180度来求∠C的度数． ∵三角形的内角和是180°， 又∠A=95°，∠B=40° ∴∠C=180°﹣∠A﹣∠B =180°﹣95°﹣40°=45° 2.如图，在△ABC中，∠A=50°，∠1=30°，∠2=40°。 ∠BDC的度数是( ) A. B. C. D. 【答案】B 【解析】，， ， ，故选：B． 3.如图，△ABC中，AD为△ABC的角平分线，BE为△ABC的高，∠C=70°，∠ABC=48°，那么∠3是（　　） A.59° B.60° C.56° D.22° 【答案】A． 【解析】本题考查了三角形的内角和定理，角平分线的定义，高线的定义，熟记概念与定理并准确识图是解题的关键． 根据高线的定义可得∠AEC=90°，然后根据∠C=70°，∠ABC=48°求出∠CAB，再根据角平分线的定义求出∠1，然后利用三角形的内角和等于180°列式计算即可得解。 ∵BE为△ABC的高， ∴∠AEB=90° ∵∠C=70°，∠ABC=48°， ∴∠CAB=62°， ∵AF是角平分线， ∴∠1=∠CAB=31°， 在△AEF中，∠EFA=180°﹣31°﹣90°=59°． ∴∠3=∠EFA=59° 4.一个三角形的三个内角中,至少有( ) A.一个锐角 B.两个锐角 C.一个钝角 D.一个直角 【答案】B 【解析】根据三角形内角和定理,一个三角形的三个个内角中至少有两个锐角。故选B. 5.在△ABC中,∠A=20,∠B=60°,则△ABC的形状是( ) A.等边三角形 B.锐角三角形 C.