第1讲 平面及其基本性质（讲义）-【教育机构专用】2021年暑期新高二数学辅导讲义（沪教版2020必修三）

第1讲 平面及其基本性质 【知识梳理】 一、平面 1．平面的概念 生活中的一些物体通常呈平面形，课桌面、黑板面、海面都给我们以平面的形象． 几何里所说的“平面”（plane）就是从这样的一些物体中抽象出来的．但是，几何里的平面是__无限延展 _的，一个平面可以将空间分成___两 _部分． 2．平面的画法 在立体几何中，我们通常用____平行四边形 __来表示平面． （1）当平面水平放置时，如图（1），平行四边形的锐角通常画成____45° ___，且横边长等于其邻边长的 ___ 2 倍； 当平面竖直放置时，如图（2），平行四边形的一组对边通常画成铅垂线． （2）如果一个平面被另一个平面遮挡住，为了增强它的立体感，我们常把被遮挡部分用虚线画出来，也可以不画．如图（1）表示平面在平面的上面，图（2）表示平面在平面的前面． 3．平面的表示 为了表示平面，我们常把希腊字母α，β，γ等写在代表平面的平行四边形的一个角上，如平面α，平面β；也可以用代表平面的平行四边形的四个顶点表示，还可以用代表平面的平行四边形的____相对的两个顶点 __的大写英文字母表示．如图中的平面可以表示为：平面α、平面ABCD、平面AC或平面BD． 4．点、直线、平面之间位置关系的符号表示 点、直线、平面的位置关系通常借助___集合 __中的符号语言来表示，___点___为元素，直线、平面都是点构成的__集合 __．集合中很多符号的规定都源于将图形视为点集．点与直线（平面）之间的位置关系用符号“”，“”表示，直线与平面之间的位置关系用符号“”，“”表示等．点、直线、平面之间位置关系的符号表示如下： 点P在直线a上，记作P_ ___a； 点Q不在直线a上，记作Qa； 点A在平面α内，记作Aα； 点B不在平面α内，记作B__ _α； 直线a在平面α内，记作a_ _α； 直线l不在平面α内，记作lα； 直线a与b相交于点A，记作a∩b=A； 平面α，β相交于直线l，记作α∩β=l． 二、平面的基本性质 1．三个公理 （1）公理1：如果一条直线上的___两点___在一个平面内，那么这条直线在此平面内． 符号表示：Al，Bl，且Aα，Bα⇒l⊂α．如图所示： 作用：①判断直线是否在平面内，点是否在平面内；②用直线检验平面． （2）公理2：过__不在一条直线上__的三点，有且只有一个平面． 符号表示：A，B，C三点不共线⇒有且只有一个平面α，使Aα，Bα，Cα．如图所示： 作用：①确定一个平面；②判断两个平面重合；③证明点、线共面． （3）公理3：如果两个不重合的平面有__一个 __公共点，那么它们有且只有一条过该点的__公共直线____． 符号表示：Pα，且Pβ⇒α∩β＝l，且Pl．如图所示： 作用：①判断两个平面相交；②证明点共线；③证明线共点． 对三个公理的理解 （1）对于公理1，我们可以知道：一是整条直线在平面内；二是直线上的所有点在平面内． （2）“不在一条直线上”和“三点”是公理2的重点字眼，如果没有前者，那么只能说“有一个平面”，但不唯一；如果将“三点”改成“四点”，那么过四点不一定存在一个平面．由此可见，“不在一条直线上的三点”是确定一个平面的条件． （3）公理3反映了平面与平面的一种位置关系——相交，且交线唯一． 2．公理2的三个推论 （1）推论1：经过一条直线和__这条直线外_的一点，有且只有一个平面． 符号语言：若点直线a，则A和a确定一个平面．如图所示： （2）推论2：经过两条__相交直线___，有且只有一个平面． 符号语言：⇒有且只有一个平面，使，．如图所示： （3）推论3：经过两条__平行直线___，有且只有一个平面． 符号语言：⇒有且只有一个平面，使，．如图所示： 【例题解析】 知识点一：平面的概念及其表示 例1．下面的说法中正确的是（ ）． A．平行四边形是一个平面 B．任何一个平面图形都是一个平面 C．平静的太平洋面就是一个平面 D．圆和平行四边形都可以表示平面 【答案】D 【解析】 利用平面的基本特征以及平面与平面图形的区别进行判断． A不正确．我们用平行四边形来表示平面，但不能说平行四边形是一个平面．平行四边形仅是平面上四条线段构成的图形，它是不能无限延展的． B不正确，平面图形和平面是完全不同的两个概念，平面图形是有大小的，它是不可以无限延展的． C不正确，太平洋再大也会有边际，也不可能是绝对平面． D正确．在需要时，除用平行四边形表示平面外，还能用三角形、梯形、圆等来表示平面． 【总结升华】 平面与平面图形既有区别又有联系．平面没有角度、绝对平展、无边界，是一种理想的图形．平面可以用三角形、正方形、梯形、圆等平面图形来表示．但平面图形如三角形、