第1讲 菱形的性质与判定-【帮课堂】2021-2022学年九年级数学上册同步精品讲义（北师大版）

第1讲 菱形的性质与判定 SHAPE \* MERGEFORMAT 1.理解掌握菱形的概念性质及判定定理 2.会用菱形的有关知识进行证明，会计算菱形的面积 SHAPE \* MERGEFORMAT 知识点01 菱形的性质 （1）菱形的定义：有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形． （2）菱形的性质 ①菱形具有平行四边形的一切性质； ②菱形的四条边都相等； ③菱形的两条对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角； ④菱形是轴对称图形，它有2条对称轴，分别是两条对角线所在直线． （3）菱形的面积计算 ①利用平行四边形的面积公式． ②菱形面积 ab．（a、b是两条对角线的长度） 【知识拓展1】菱形的两条对角线长的比是 ，面积是 ，则它的对角线的长分别是 ， ． (★) 解答方法： ∵　设菱形的两条对角线的长分别为 ， ∴　 ，∴ 解得 ， ∴　 对角线的长分别为 。 答案： 。 【总结方法】菱形的面积等于对角线乘积的一半。 【即学即练】两对角线分别是6cm和8cm的菱形面积是　_________　cm2，周长是　_________　cm． (★) 解答方法：菱形面积是 ；∵菱形的对角线互相垂直平分， 根据勾股定理可得，边长为5cm，则周长是20cm． 故答案为24，20． 解答：24,20 【知识拓展2】菱形的周长是它的高的8倍，则菱形较小的一个角为（　　）(★★) 　 A． 60° B． 45° C． 30° D． 15° 解答方法：菱形的周长为边长的4倍，又∵菱形周长为高的8倍，∴AB=2AE， ∵△ABE为直角三角形，∴∠ABC=30°．故选 C． 答案： 【总结方法】本题考查了菱形各边长相等的性质，考查了直角三角形中的特殊角，本题中根据特殊角求得∠ABC=30°是解题的关键． 【即学即练1】菱形的一条对角线与边长相等，则菱形中较小的内角是（　　）(★★) 　 A． 60° B． 15° C． 30° D． 90° 解答方法：因为菱形的一条对角线与边长相等，所以该对角线和菱形的两边组成的是等边三角形， 可得该菱形较小内角的度数是60°． 解答： 【即学即练2】如果菱形的周长等于一条对角线长的4倍，那么这个菱形较小的一个内角等于　 度．(★★) 解答方法：∵菱形的周长等于一条对角线长的4倍，∴AB=BD=AD， ∴△ABD是等边三角形，∴∠A=60°． 即这个菱形较小的一个内角等于60°． 解答：60 【知识拓展3】已知：如图，四边形ABCD是菱形，F是AB上一点，DF交AC于E．求证：∠AFD=∠CBE． (★★) 答案：证明： ∵　四边形ABCD是菱形， ∴ ． ∴　 , ∴ △BCE≌△COB（SAS）． ∴　 ∠CBE=∠CDE． ∵　在菱形ABCD中，AB∥CD， ∴∠AFD=∠FDC ∴　∠AFD=∠CBE． 【总结方法】通过菱形的基本性质可以得到三角形全等，进而推出对应角相等，然后利用平行内错角相等进行转化即可得到要证明的结论。 【知识拓展4】如图，在菱形ABCD中，E为AD中点，EF⊥AC交CB的延长线于F． 求证：AB与EF互相平分．（★★） 解题分析：连接BD，AF，BE， 在菱形ABCD中，AC⊥BD ∵EF⊥AC， ∴EF∥BD，又ED∥FB， ∴四边形EDBF是平行四边形，DE=BF， ∵E为AD的中点， ∴AE=ED，∴AE=BF， 又AE∥BF， ∴四边形AEBF为平行四边形， 即AB与EF互相平分． 【即学即练】已知：如图，菱形ABCD中，过AD的中点E作AC的垂线EF，交AB于点M，交CB的延长线于点F．如果FB的长是2，求菱形ABCD的周长．（★★） 解答方法：连接BD．∵在菱形ABCD中，∴AD∥BC，AC⊥BD． 又∵EF⊥AC，∴BD∥EF．∴四边形EFBD为平行四边形．∴FB=ED=2． ∵E是AD的中点．∴AD=2ED=4．∴菱形ABCD的周长为4×4=16． 解答：16 知识点02 菱形的判定 ①菱形定义：一组邻边相等的平行四边形是菱形（平行四边形+一组邻边相等＝菱形）； ②四条边都相等的四边形是菱形． 几何语言：∵AB＝BC＝CD＝DA∴四边形ABCD是菱形； ③对角线互相垂直的平行四边形是菱形（或“对角线互相垂直平分的四边形是菱形”）． 几何语言：∵AC⊥BD，四边形ABCD是平行四边形∴平行四边形ABCD是菱形 【知识拓展1】已知：如图ABCD的对角线AC的垂直平分线与边AD、BC分别交于E、F． 求证：四边形AFCE是菱形．（★★） 解题分析：∵　 四边形ABCD是平行四边形，∴　 AE∥FC．∴　 ∠1=∠2． 又　 ∠AOE=∠COF，