第三章 第一节 导数的概念及运算-备战2022年（新高考）数学一轮复习考点讲解+习题练习

第1章 导数的概念及运算 知识回顾 1．导数的概念 (1)函数y＝f (x)从x1到x2的平均变化率 函数y＝f (x)从x1到x2的平均变化率为，若Δx＝x2－x1，Δy＝f (x2)－f (x1)，则平均变化率可表示为. (2)设函数y＝f (x)在区间(a，b)上有定义，x0∈(a，b)，当Δx无限趋近于0时，比值＝无限趋近于一个常数A，则称f (x)在x＝x0处可导，并称常数A为函数f (x)在x＝x0处的导数，记作f′(x0)． 2．导数的几何意义 函数y＝f (x)在点x＝x0处的导数的几何意义，就是曲线y＝f (x)在点P(x0，f (x0))处的切线的斜率k，即k＝f′(x0)． 3．基本初等函数的导数公式 基本初等函数 导数 f (x)＝c(c为常数) f′(x)＝0 f (x)＝xα(α∈Q*) f′(x)＝αxα－1 f (x)＝sin x f′(x)＝cos x f (x)＝cos x f′(x)＝－sin x f (x)＝ex f′(x)＝ex f (x)＝ax(a>0) f′(x)＝axln a f (x)＝ln x f′(x)＝ f (x)＝logax(a>0，a≠1) f′(x)＝ 4.导数的运算法则 若f′(x)，g′(x)存在，则有 (1)[f (x)±g(x)]′＝f′(x)±g′(x)； (2)[f (x)·g(x)]′＝f′(x)g(x)＋f (x)g′(x)； (3)′＝(g(x)≠0)． 5．复合函数的导数 复合函数y＝f (g(x))的导数和函数y＝f (u)，u＝g(x)的导数间的关系为yx′＝yu′·ux′，即y对x的导数等于y对u的导数与u对x的导数的乘积． 课前检测 1.【2021年3月湖北武汉武汉市第三中学高二下学期周测数学试卷】一质点做直线运动，由始点经过 秒后的距离为 ，则 秒时的瞬时速度为(　　) A． B． C． D． 【答案】B 【解析】【分析】：求出路程 对时间 的导函数，求出导函数在 时的值即为 时的瞬时速度． ， ， 时的瞬时速度为 ． 故选 B 【备注】导数在物理上的应用：位移对时间的导数为物体运动的瞬时速度；速度对时间的导数为运动问题的加速度． 2.已知函数，则(　　) A． B． C． D． 【答案】D 【解析】 函数的导数， 则， 故选：D 【备注】根据函数的导数公式进行求解即可． 本题主要考查函数的导数计算，根据函数的导数公式是解决本题的关键比较基础． 3.给出下列结论中正确的个数是(　　) ① ； ② ； ③ 若 ，则 ； ④ ． A． B． C． D． 【答案】B 【解析】① ，所以 ① 错误； ② ，而 ，所以 ② 错误； ③ ，所以 ③ 错误； ④ ，所以 ④ 正确． 故选 B 4．如图所示为函数y＝f (x)，y＝g(x)的导函数的图象，那么y＝f (x)，y＝g(x)的图象可能是(　　) 答案　D 解析　由y＝f′(x)的图象知，y＝f′(x)在(0，＋∞)上单调递减，说明函数y＝f (x)的切线的斜率在(0，＋∞)上也单调递减，故可排除A，C. 又由图象知y＝f′(x)与y＝g′(x)的图象在x＝x0处相交，说明y＝f (x)与y＝g(x)的图象在x＝x0处的切线的斜率相同，故可排除B.故选D. 5．(2019·苏州模拟)已知函数f (x)＝(bx－1)ex＋a(a，b∈R)．若曲线y＝f (x)在点(0，f (0))处的切线方程为y＝x，则a，b的值分别为a＝ ，b＝ . 答案　1　2 解析　由f (x)＝(bx－1)ex＋a得f′(x)＝ex(bx＋b－1)，曲线y＝f (x)在点(0，f (0))处的切线方程为y＝x. f′(0)＝1，f (0)＝0，即b－1＝1，－1＋a＝0，解得a＝1，b＝2. 课中讲解 考点一.导数的运算 例1.【2020年4月江西南昌南昌县南昌县莲塘一中高二下学期月考数学试卷】下列函数求导运算正确的个数为(　　) ① ② ③ ④ ⑤ A． B． C． D． 【答案】B 【解析】【分析】：利用八种初等函数的导数和导数的运算法则求解判断． ① ，故错误； ② ，故正确； ③ ，故正确； ④ ，故错误； ⑤ ，故错误． 故选 B 【备注】根据 ，， 即可作出判断． 此题考查了求导的运算．要求学生掌握求导法则，锻炼了学生的计算能力，是一道基础题． 变式1.【2020年广东广州荔湾区高二下学期期末考试数学试卷】下列求导运算正确的