第16讲 因式分解综合 -【暑假辅导班】2021年新七年级数学暑假精品课程（沪教版）

第16讲 因式分解综合 【学习目标】 本部分内容包括因式分解的有关概念，因式分解的常用基本方法．因式分解在代数学习中具有基础作用，它在代数的恒等变换，分式的通分，约分以及解方程方面都起着重要作用．通过学习，可以培养学生的观察、分析、运算能力． 【基础知识】 一、因式分解基本概念 1、因式分解：把一个多项式化成几个整式的乘积的形式，叫做把这个多项式因式分解，也 可称为将这个多项式分解因式． 2、因式分解与整式乘法互为逆变形： 式中 可以代表单项式，也可以代表多项式，它是多项式中各项都含有的因式，称为公因式． 二、四种基本方法： 1、提取公因式法：多项式 各项都含有公因式 ，可把公因式 提到外面， 将多项式 写成 与 的乘积形式，此法叫做提取公因式法． 提取公因式的步骤： （1）找出多项式各项的公因式． （2）提出公因式． （3）写成 与 的乘积形式． 提取公因式法的几个技巧和注意点： （1）一次提净． （2）视“多”为“一”． （3）切勿漏1． （4）注意符号：在提出的公因式为负的时候，注意各项符号的改变． （5）化“分”为整：在分解过程中如出现分数，可先提出分数单位后再进行分解 ． （6）仔细观察：当各项看似无关的时候，仔细观察其中微妙的联系，转化后再分解． 2、逆用乘法公式将一个多项式分解因式的方法叫做公式法． （1）平方差公式： 由平方差公式反过来可得： ，这个公式叫做因式分解的平方差公式； （2）完全平方公式： 由完全平方公式反过来可得： 和 ，这两个公式叫做因式分解的完全平方公式． 3、十字相乘法：如果二次三项式 中的常数项 能分解成两个因式 、 的积，而且一次项系数 又恰好是 ，那么 就可以进行如下的分解因式，即： 要将二次三项式 分解因式，就需要找到两个数 、 ，使它们的积等于常数项 ，和等于一次项系数 , 满足这两个条件便可以进行如下分解因式，即： ． 这种利用十字交叉线来分解系数，把二次三项式分解因式的方法叫做十字相乘法． 4、分组分解法： 将一个多项式分成二或三组，各组分别分解后，彼此又有公因式或者可以用公式，这就是分组分解法． 【考点剖析】 考点一：选择题 例1．下列各式从左到右的变形中，是因式分解的是（ ） A、 B、 C、 D、 【难度】★ 【答案】B 【解析】把一个多项式化成几个整式的乘积的形式，叫做因式分解，因此判断B正确． 【总结】本题主要考查因式分解的概念． 例2．下列各式从左到右的变形中，是因式分解的为（ ） A、 B、 C、 D、 【难度】★ 【答案】C 【解析】把一个多项式化成几个整式的乘积的形式，叫做因式分解，因此判断C正确． 【总结】本题主要考查因式分解的概念． 例3．下列各式的分解因式： ；② ； ③ ；④ 其中正确的个数有（ ） A、0 B、1 C、2 D、3 【难度】★ 【答案】B 【解析】其中①应该为 ；②应该为 ；③不能因式分解． 【总结】本题主要考查因式分解的概念． 例4．多项式 各项的公因式是（ ） A、 B、 C、 D、 【难度】★ 【答案】D 【解析】根据公因式的定义． 【总结】本题主要考查公因式的概念． 例5．已知多项式 分解因式为 ，则 、 的值为（ ） A、 B、 C、 D、 【难度】★ 【答案】D 【解析】 ． 【总结】考查整式的乘法以及待定系数法． 例6．下列多项式中不能用平方差公式分解的是（ ） A、 B、 C、 D、 【难度】★ 【答案】B 【解析】B选项变形可得 ． 【总结】考查平方差公式的定义． 例7．下列各式中，能用完全平方公式分解因式的是（ ） A、 B、 C、 D、 【难度】★ 【答案】D 【解析】D选项变形为 ． 【总结】本题主要考查对完全平方公式的理解及运用． 例8．已知正方形的面积是 （ ），则正方形的边长是（ ） A、 B、 C、 D、 【难度】★★ 【答案】B 【解析】 ． 【总结】考查二次根式的非负性以及完全平方公式． 例9．分解因式 得（ ） A、 B、 C、 D、 【难度】★★ 【答案】C 【解析】 ． 【总结】本题主要考查利用平方差公式分解因式，注意一定要分解彻底． 例10．一个多项式分解因式的结果是 ，那么这个多项式是（ ） A、 B、 C、 D、 【难度】★★ 【答案】B 【解析】 ． 【总结】本题主要考查整式的乘法与因式分解之间的关系． 考点二：填空题 例1．直接写出因式分解的结果： （1） _____________；（2） _____________． 【难度】★ 【答案】（1） ；（2） ． 【解析】（1）原式 ； （2）原式 ． 【总结】本题主要考查提取公因式以及利用乘法公式进行因式分解． 例2．填上适当的式子，使等式成立： ． 【难度】★ 【答案】 ． 【解析】 ． 【总结】本题主要考查通过提取公因式