第15讲 分组分解法 -【暑假辅导班】2021年新七年级数学暑假精品课程（沪教版）

第15讲 分组分解法 【学习目标】 分组分解法是在提取公因式法、公式法、十字相乘法的基础上学习的最后一种基本的因式分解方法．分组分解法并不是一种独立的因式分解的方法，通过对多项式进行适当的分组，把多项式转化为可以应用基本方法分解的结构形式，使之具有公因式，或者符合公式的特点等，从而达到可以利用基本方法进行分解因式的目的．我们有目的地将多项式的某些项组成一组，从局部考虑，使每组能够分解，从而达到整个多项式因式分解的目的． 【基础知识】 如何将多项式 因式分解？ 分析：很显然，多项式 中既没有公因式，也不好用公式法．怎么办呢？ 由于 , 而： ．这样就有： 将一个多项式分成二或三组，各组分别分解后，彼此又有公因式或者可以用公式，这就是分组分解法． 说明：如果把一个多项式的项分组并提出公因式后，它们的另一个因式正好相同，那么这个多项式就可以用分组分解法来分解因式． 【考点剖析】 例1．因式分解： （1） ； （2） ． 【难度】★ 【答案】（1） ；（2） ． 【解析】（1）原式 ； （2）原式 ． 【点评】考查学生分组分解方法的运用以及提取公因式的能力． 例2．分解因式： ． 【难度】★ 【答案】 ． 【解析】原式 ． 【点评】考查学生分组分解方法的运用以及提取公因式的能力． 例3．分解因式： ． 【难度】★ 【答案】 ． 【解析】原式 ． 【点评】考查学生分组分解方法的运用以及提取公因式的能力． 例4．分解因式： ． 【难度】★ 【答案】 ． 【解析】原式 ． 【点评】考查学生分组分解方法的运用以及提取公因式的能力． 例5．分解因式： ． 【难度】★ 【答案】 ． 【解析】原式 ． 【点评】考查学生分组分解方法的运用以及提取公因式的能力，注意符号的变化． 例6．因式分解： ． 【难度】★ 【答案】 ． 【解析】原式 ． 【点评】考查学生分组分解方法的运用以及提取公因式的能力． 例7．分解因式： ． 【难度】★ 【答案】 ． 【解析】原式 ． 【点评】考查学生分组分解方法的运用以及提取公因式的能力，注意符号的变化． 例8．分解因式： ． 【难度】★★ 【答案】 ． 【解析】原式 ． 【点评】考查学生分组分解方法以及平方差公式的运用，注意分解要彻底． 例9．分解因式： ． 【难度】★★ 【答案】 ． 【解析】原式 ． 【点评】考查学生分组分解方法的运用以及提取公因式的能力． 例10．分解因式： ． 【难度】★★ 【答案】 ． 【解析】原式 （未学过立方和的分解到这一步就可以） 【点评】考查学生分组分解方法的运用以及提取公因式的能力． 例11．分解因式： ． 【难度】★★ 【答案】 ． 【解析】原式 【点评】考查学生分组分解方法以及平方差公式的运用，注意分解要彻底． 例12．分解因式： ． 【难度】★★ 【答案】 ． 【解析】原式 【点评】考查学生分组分解方法以及乘法公式的运用． 例13．分解因式： ． 【难度】★★ 【答案】 ． 【解析】原式 【点评】考查学生分组分解方法以及平方差公式的运用，注意对字母指数的准确理解． 例14．分解因式： ． 【难度】★★ 【答案】 ． 【解析】原式 ． 【点评】考查学生分组分解方法以及平方差公式的运用，当不能直接分解时，要利用乘法公式展开后再进行分组． 例15．分解因式： ． 【难度】★★ 【答案】 ． 【解析】原式 ． 【点评】考查学生分组分解方法的运用以及提取公因式的能力，注意先拆再重新分组． 【过关检测】 一、单选题 1．（2020·上海市七宝实验中学七年级期中）若 是 的因式，则 的值是（ ） A．4 B．6 C．－4 D．－6 【答案】D 【分析】利用因式分解与整式乘法的恒等关系计算解答即可． 【详解】∵多项式 因式分解后有一个因式为 ， ∴设另一个因式是 ，即 ＝ ＝ ， 则 ， 解得： ， 故答案为：D． 【点睛】此题考查了因式分解的意义，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键． 2．（2019·上海民办张江集团学校七年级期中）已知二次三项式 可分解成两个整系数的一次因式的乘积，那么（ ） A． 一定是奇数 B． 一定是偶数 C． 一定是负数 D． 可为奇数也可为偶数 【答案】A 【分析】根据十字相乘法的分解方法，以及奇数+偶数=奇数，奇数﹣偶数=奇数即可求解． 【详解】设21x2+ax﹣10=(mx+p)(nx+q)=mnx2+(mq+pn)x+pq ∴mn=21，pq=-10，a=mq+pn． ∴m、n为奇数，p、q有一个为偶数，一个为奇数， ∴mq、pn中有一个为奇数，一个为偶数， ∴a=mq+pn一定是奇数． 故选：A． 【点睛】本题考查了因式分解﹣十字相乘法等，运用十字相乘法分解因式时，要注意观察，尝试，并体会它实质是二项式乘法的逆过程． 3．（20