第13讲 提取公因式法、公式法分解因式-【暑假辅导班】2021年新七年级数学暑假精品课程（沪教版）

第13讲 提取公因式法、公式法分解因式 【学习目标】 学习分解因式一是为解高次方程作准备，二是学习对于代数式变形的能力，从中体会分解的思想、逆向思考的作用．它不仅是现阶段学生学习的重点内容，而且也是学生后续学习的重要基础．本章教材是在学生学习了整式运算的基础上提出来的，事实上，它是整式乘法的逆向运用，与整式乘法运算有密切的联系．分解因式的变形不仅体现了一种“化归”的思想，而且也是解决后续——分式化简、解方程、恒等变形等学习的基础，为数学交流提供了有效的途径．分解因式这一章在整个教材中起到了承上启下的作用，提取公因式法和公式法是因式分解的基本而又重要的两种方法． 【基础知识】 一：提取公因式法 1、因式分解：把一个多项式化成几个整式的乘积的形式，叫做把这个多项式因式分解，也 叫做把这个多项式分解因式． 2、因式分解与整式乘法互为逆变形： 式中 可以代表单项式，也可以代表多项式，它是多项式中各项都含有的因式，称为公因式． 2、公因式：一个多项式中每一项都含有的因式叫做这个多项式的公因式． 3、提取公因式法：多项式 各项都含有公因式 ，可把公因式 提到外面， 将多项式 写成 与 的乘积形式，此法叫做提取公因式法． 4、提取公因式的步骤： （1）找出多项式各项的公因式． （2）提出公因式． （3）写成 与 的乘积形式． 6、提取公因式法的几个技巧和注意点： （1）一次提净； （2）视“多”为“一”； （3）切勿漏1； （4）注意符号：在提出的公因式为负的时候，注意各项符号的改变； （5）化“分”为整：在分解过程中如出现分数，可先提出分数单位后再进行分解 ； （6）仔细观察：当各项看似无关的时候，仔细观察其中微妙的联系，转化后再分解． 二：公式法 1、平方差公式： ①公式左边形式上是一个二项式，且两项的符号相反； ②每一项都可以化成某个数或式的平方形式； ③右边是这两个数或式的和与它们差的积，相当于两个一次二项式的积． 2、完全平方公式： ①左边相当于一个二次三项式； ②左边首末两项符号相同且均能写成某个数或式的完全平方式； ③左边中间一项是这两个数或式的积的2倍，符号可正可负； ④右边是这两个数或式的和(或差)的完全平方，其和或差由左边中间一项的符号决定． 【考点剖析】 考点一：提取公因式法 例1．判断下列各式从左到右的变形是否是分解因式，并说明理由． （1） ； （2） ； （3） ； （4） ． 【难度】★ 【答案】（1）不是；（2）不是；（3）不是；（4）是． 【解析】根据等式右边是否与左边相等以及是否为整式乘积表达形式． 【总结】本题主要考查因式分解的定义． 例2．指出下列各式中的公因式： （1） ； （2） ； （3） ． 【难度】★ 【答案】（1） ；（2） ；（3） ． 【解析】每一个单项式中都含有的因式叫做公因式． 【总结】本题主要考查公因式的定义． 例3．分解因式： （1） ； （2） ； （3） ． 【难度】★ 【答案】（1） ；（2） ；（3） ． 【解析】（1） ； （2） ； （3） ． 【总结】本题主要考查利用提取公因式法分解因式，注意当第一项的系数是负数时，一般应提出这个负号，并注意其它项的符号的变化． 例4．分解因式： （1） ； （2） ； （3） ． 【难度】★ 【答案】（1） ；（2） ；（3） ． 【解析】（1） ； （2） ； （3） ． 【总结】本题主要考查利用提取公因式法分解因式，注意公因式是指每一项中都含有的因式，取相同字母的最低次幂． 例5．分解因式： ． 【难度】★★ 【答案】 ． 【解析】 ． 【总结】本题主要考查利用提取公因式法分解因式，注意提取公因式后，剩余的项的项数与原来的项数相同，并且让系数变为整数． 例6．把下列各式分解因式： （1） ； （2） ； （3） ． 【难度】★★ 【答案】（1） ；（2） ；（3） ． 【解析】（1） ； （2）原式 ； （3）原式 ． 【总结】本题主要考查利用提取公因式法分解因式，注意要进行合并． 例7．把下列各式分解因式： （1） ； （2） ； （3） ； （4） ． 【难度】★★ 【答案】 （1） ； （2） ； （3） ； （4） ． 【解析】（1） ； （2） ； （3） ； （4） ． 【总结】本题主要考查利用提取公因式法分解因式，注意（4）式要先对后两项提取负号，出现公因式之后，在进行分解因式． 例8．把下列各式分解因式： （1） ； （2） ． 【难度】★★ 【答案】（1） ；（2） ． 【解析】（1）原式 ； （2）原式 ． 【总结】本题主要考查利用提取公因式法分解因式，注意公因式是指每一项中都含有的因式，取相同字母的最低次幂． 例9．分解因式： ． 【难度】★★ 【答案】 ． 【解析】原式 ． 【总结】本题主要考查利