第5讲 整式的基本概念-【暑假辅导班】2021年新七年级数学暑假精品课程（沪教版）

第5讲 整式的基本概念 【学习目标】 整式的基本概念及合并同类项是在学生学习了有理数、用字母表示数和代数式等知识的基础上安排的．该章属于《义务教育数学课程标准》中的“数与代数”部分，其主要内容包括整式、单项式、多项式；合并同类项；等．这些内容既是对有理数的概括与抽象，又是后继学习整式加减运算的基础，还是学习物理、化学等学科及其他科学技术不可缺少的工具． 【基础知识】 一、整式的基本概念 单项式：由数字与字母的积或字母与字母的积所组成的代数式叫做单项式．也就是说单 项式中不存在数字与字母或字母与字母的加、减、除关系，特别的单项式的分母中不含未知数．单独的一个字母或数也叫做单项式． （1）单项式的次数：是指单项式中所有字母的指数和．例如：单项式 ，它的指数 为 ，是四次单项式．单独的一个数(零除外)，它们的次数规定为零，叫做零次单 项式 （2）单项式的系数：单项式中的数字因数叫做单项数的系数． 2、多项式：由几个单项式的和组成的代数式叫做多项式．例如： 是多项式． （1）多项式的项：其中每个单项式都是该多项式的一个项．多项式中的各项包括它前面 的符号．多项式中不含字母的项叫做常数项． （2）多项数的次数：多项式里，次数最高项的次数就是这个多项式的次数． （3）多项式的降（升）幂排列：按照同一个字母的指数从大到小（或从小到大）的顺序排列． 3、整式：单项式和多项式统称整式． 二：合并同类项 1、同类项的概念： 所含的字母相同，且相同字母的指数也相同的单项式叫做同类项． 2、合并同类项： 合并同类项的法则：在合并同类项时，把同类项的系数相加的结果作为合并后的系数，字母和字母的指数不变． 【考点剖析】 考点一：整式的基本概念 例1．在代数式 EMBED Equation.DSMT4 ，0， 中，整式共有（ ）个 A、5 B、6 C、7 D、8 【难度】★ 【答案】B 【解析】 分母中含有字母，是分式的形式，不属于整式，单项式和多项式都 是整式，故本题中的整式共6个． 【总结】本题主要考查整式的概念． 例2．找出下列各代数式中的单项式，并写出各单项式的系数和次数． ， ， ， ， ， ， ， ． 【难度】★ 【答案】以上代数式是单项式的有： ， ， ， ， ， ． 的系数为 ，次数为3； 的系数为-1，次数为1； ，系数为 ，次数为7； ，系数为-3，次数为6； 2，系数为2，次数为0； ，系数 ，次数为1． 【解析】此题主要考查单项式的相关概念，属于基础题目． 例3．写出下列多项式的次数及最高次项的系数． （1） ； （2） ． 【难度】★ 【答案】（1）此多项式的次数是3次，最高次项的系数为 ； （2）此多项式的次数是2次，最高次项的系数是 ． 【解析】这是一道基础题目，考查的是多项式的系数和次数的概念． 例4．解答题： （1）把多项式 按 的降幂排列； （2）把多项式 按 的升幂排列； （3）求多项式 的各项系数之和． 【难度】★ 【答案】（1） ； （2） ； （3） ． 【解析】（1）（2）升降幂的概念的考查， （3）多项式 的各项系数分别为3， ， ，2，这四个数字之和为 ． 【总结】本题一方面考查多项式的排列，另一方面考查多项式中每一项的系数． 例5．多项式 是几次几项式？ 【难度】★★ 【答案】五次五项式 【解析】多项式中所包含的单项式的次数最高的项是 ，是五次单项式，故此多项式 的次数为五次，共五项，所以是五次五项式． 【总结】本题主要考查几次几项式的概念． 例6．多项式 是三次三项式，求代数式 的值． 【难度】★★ 【答案】0或4． 【解析】多项式 是二次三项式，则分两种情况： （1）当 时， ，所以 ； （2）当 时， ，所以 ． 【总结】本题一方面考查了几次几项式的概念，另外由于没有说最高次项是哪一项，因此要分类讨论． 例7．多项式 是六次四项式，单项式 的次数与这个多项式次数相同，求 的值． 【难度】★★ 【答案】 ． 【解析】由题意知多项式是六次四项式，则可得： ；又单项式的次数与 多项式的次数相同，所以可得 所以 ． 【总结】本题主要考查多项式的次数与单项式的次数，注意两个概念的不同之处． 例8．设自然数 满足 ，求多项式 的次数？ 【难度】★★ 【答案】2或者是n． 【解析】（1）当n≤2时，次数为2；（2）当n>2时，次数为n． 【总结】本题主要考查多项式的次数，注意多项式的次数与系数的指数无关． 例9．请各写出一个符合条件的整式： 系数是 ，次数是3的单项式； 系数是3，次数是1的单项式； 常数项为 的二次三项式． 【难度】★★ 【答案】（1） ； （2） ； （3） ． 【解析】这是一道开放性的题目，主要考查的是整式、单项式和多项式的基础概念，答案不唯一． SHAPE \* MERGEFO