14.2.2《完全平方公式》第1课时 PPT课件 2021--2022学年人教版数学八年级上册

第1课时 14.2.2　完全平方公式 八年级上册 RJ 初中数学 平方差公式: (a+b)(a-b)=a2-b2. 两个数的和 两个数的差 积 平方差 两个数的和与这两个数的差的积，等于这两个数的平方差. 知识回顾 1.了解并掌握完全平方公式. 2.理解完全平方公式的推导过程，并会应用完全平方公式进行计算. 学习目标 课堂导入 小明去市场买一种水果，价格为每公斤10.2元，现称出该水果为10.2斤，小明随即报出了要付现金104.04元.你知道小明为什么算得怎么快吗？ 计算下列多项式的积 (1) (p+1)2=__________=_________； p2+2p+1 (2) (m+2)2=___________=_________； m2+4m+4 (3) (p-1)2=__________=_________； p2-2p+1 (4) (m-2)2=__________=_________； m2-4m+4 知识点 完全平方公式 新知探究 (p+1)(p+1) (m+2)(m+2) (p-1)(p-1) (m-2)(m-2) 观察计算结果，你能发现什么规律？ 猜想：(a+b)2=a2+2ab+b2；(a-b)2=a2-2ab+b2. m2+2×2m+22 m2-2×2m+22 p2+2p+12 P2-2p+12 (1)用多项式乘法证明： (a-b)2 =(a-b)(a-b) (a+b)2 =a2-ab-ab+b2 =a2-2ab+b2 =(a+b)(a+b) =a2+ab+ab+b2 =a2+2ab+b2 (2) 借助几何图形证明： 如图，边长为(a+b) 的正方形的面积是(a+b)2 . 它的面积还可以视为两个小正方形和两个小长方形面积的和， 所以(a+b)2=a2+2ab+b2 b a a b a2 ab ab b2 即a2+ab+ab+b2=a2+2ab+b2 . 它的面积还可以视为大正方形的面积减去两个小长方形面积的差，即 如图，边长为(a-b) 的正方形的面积是(a-b)2 . 所以(a-b)2=a2-2ab+b2. (2) 借助几何图形证明： (a-b)2 (a-b2) a-b b b a-b ab ab b2 =a2-ab-ab+b2 =a2-2ab+b2 (a+b)2=a2+2ab+b2, (a-b)2=a2-2ab+b2. 两个数的和（或差）的平方，等于它们的平方和，加上（或减去）它们的积的2倍. 完全平方公式 特点：(1)两个公式的等号左边都是一个二项式的完全平方，两者仅有一个“符号”不同； (2)两个公式的等号右边都是二次三项式，其中首尾两项是等号左边二项式中每一项的平方，中间一项是左边二项式中两项乘积的2倍，两者也仅有一个“符号”不同. 例1 运用完全平方公式计算： (1) (4m+n)2 ； (2) (y- )2 . 解： (1) (4m+n)2 =(4m)2+2·4m·n+n2 =16m2+8mn+n2 ； (2) (y- )2 =y2-2·y· +( )2 =y2-y+ . 跟踪训练 新知探究 例2 运用完全平方公式计算： (1) 1022 (2) 992 . 解： (1) 1022 =(100+2)2 =1002+2×100×2+22 =10 000+400+4 =10 404 (2) 992 =(100-1)2 =1002-2×100×1+12 =10 000-200+1 =9 801. 完全平方公式的常见变形 (1)完全平方公式中的字母a，b可以是单项式，也可以是多项式，只要符合这个公式的结构特征就可以运用这个公式. (2)完全平方公式等号右边2ab的符号取决于等号左边二项式中两项的符号，若这两项同号，则2ab的符号为“+”；若这两项异号，则2ab的符号为“-”. (3)运用完全平方公式的时候要避免出现形如(a±b)2 = a2±b2 . 随堂练习 1.（2020·陕西）计算：(2x-y)2=（　　） A. 4x2-4xy+y2 B. 4x2-2xy+y2 C. 4x2-y2 D. 4x2+y2 (2x)2 -2·2x·y+y2 4x2 -4xy+y2 A 解：(1) (-2m-n)2 =(2m+n)2 =(2m)2+2·2m·n+n2 =4m2+4mn+n2 ； (2) (2x+3y)(-2x-3y) =-(2x+3y)2 =-[(2x)2+2·2x·3y+(3y)2] =-4x2-12xy-9y2 . 2.计算下列式子： (1) (-2m-n)2 ； (2) (2x+3y)(-2x-3y) . 解：(3) (-4a+5b)2 =(5b-4a)2 =(5b)2-2·5b·4a+(4a)2 =25b2-40ab+16a2 ； (4) (x+7y)2 =x2+2·x·7y+(7y)2 =x2+14xy+49y2 . 2.计算下列式子： (3) (-4a+5b)2 ； (4) (x+7y)2 . 3.（2020·枣庄）图1是一个长为2a，宽为2b(a＞b)的长方形，用剪刀沿图中虚线（对称轴）剪开，把它分成四块形状和大小都一样的小长方形，然后按图2那样拼成一个正方形，则中间空余的部分的面积是( ) A. ab B. (a+b)2 C. (a-b)2 D. a2-b2 图1 图2 a b 4ab (a+b)2 C (a+b)2-4ab =a2+2ab+b2-4ab =(a-b)2 完全平方公式 两个数的和（或差）的平方，等于它们的平方和，加上（或减去）它们的积的2倍 (a+b)2=a2+2ab+b2, (a-b)2=a2-2ab+b2 课堂小结 1.将1052变形正确的是（ ） 解： 1052=(100+5)2=1002+2×100×5+52. A. 1052=1002+52 B.1052=(100-5)(100+5) C. 1052=1002+2×100×5+52 D.1052=1002+100×5+52 C 拓展提升 2.若(3x-a)2=9x2-bx+16，则a+b的值为（ ） A.28 B.-28 C.24或-24 D.28或-28 D 解：因为(3x-a)2=9x2-6ax+a2， 所以9x2-6ax+a2=9x2-bx+16. 则a2=16，6a=b, 解得a=±4. 当a=4时，b=24；当a=-4时，b=-24. 所以a+b=28或-28. 3.已知m+n=8，mn=6，求m2+n2，(m-n)2 . 分析：先将m2+n2，(m-n)2变形为用m+n, mn表示的式子，然后将已知整体代入求值. 解：因为m+n=8，mn=6， 所以m2+n2=(m+n)2-2mn=82-2×6=52， m2-n2=(m+n)2-4mn=82-4×6=40. 解决此类题目应先利用乘法公式将待求值的式子进行恒等变形，然后将已知整体代入求值. $