专题11.7 三角形角平分线几何模型（知识讲解）-2021-2022学年八年级数学上册基础知识专项讲练（人教版）

专题11.7 三角形角平分线几何模型（知识讲解） 模型1：内分分模型 如图一 模型2：内外分模型 如图二 模型三：外外分模型 如图三 模型四：飞镖+角平分线模型 1、 飞镖模型内角关系模型： 图四 2、 飞镖模型内角平分线模型： 图五 【典型例题】 类型一、内分分模型 1． 如图，的角平分线相交于点． （1）若，则________； （2）试探究与之间的数量关系并说明理由． 【答案】（1）60；（2），见解析． 【分析】 （1）直接利用三角形的内角和定理求解即可； （2）先根据角平分线的定义得到∠1=∠ABC，∠2=∠ACB，再根据三角形内角和定理得∠BPC=180°-∠1-∠2=180°-（∠ABC+∠ACB），加上∠ABC+∠ACB=180°-∠A，易得∠BPC=90°+∠A，再根据平角的定义解答即可． 解：（1）∵∠ABC=50°，∠ACB=70°， ∴∠A=180°-50°-70°=60°． 故答案为60． （２）∠DPC=90°-∠A ， 理由：的平分线相交于点，， ， ∴∠DPC=180°-（90°+∠A）=90°-∠A． 故答案为：90°-∠A． 【点拨】本题考查了三角形内角和定理：三角形内角和是180°，本题探讨了三角形两角的平分线的夹角与第三个角之间的关系． 类型二、内外分模型 2．（2019·全国九年级专题练习）如图，在中，与的平分线相交于，与的平分线相交于，以此类推，与的平分线相交于，求与数量关系. 【答案】 【分析】先根据三角形三角形外角的性质及角平分线得出∠A1与∠A的关系，同理得出∠A2与∠A1的关系，从而推导出∠A2与∠A的关系，……，进而归纳出∠An与∠A的关系，即可得出答案. 解：在中，有∠ACD=∠A+∠ABC， 在中，有∠A1CD=∠A1+∠A1BC， ∵与的平分线相交于， ∴∠A1CD=∠ACD，∠A1BC=∠ABC， ∴∠A1=∠A， 同理，∠A2=∠A1，即∠A2=∠A， 由此可得，∠A3=∠A， …… ∴. 【点拨】本题考查了三角形外角的性质、角平分线的性质等知识.根据三角形外角等于不相邻的两个内角的和找出∠A1、∠A2……∠An与A的关系是解题的关键. 类型三、 外分分模型 3．（2020·江苏苏州市·七年级期末）如图1，△ABC的外角平分线交于点