专题21.7二次根式材料阅读探究大题专题（重难点培优）-2021-2022学年九年级数学上册尖子生同步培优题典【华东师大版】

2021-2022学年九年级数学上册尖子生同步培优题典【华师大版】 专题21.7二次根式材料阅读探究大题专题（重难点培优） 姓名：__________________ 班级：______________ 得分：_________________ 注意事项： 本试卷试题共30题，解答30道．答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置． 一．解答题（共30小题） 1．（2020春•越城区校级月考）点P（x，y）是平面直角坐标系中的一点，点A（1，0）为x轴上的一点． （1）用二次根式表示点P与点A的距离； （2）当x＝4，y时，连接OP、PA，求PA+PO； （3）若点P位于第二象限，且满足函数表达式y＝x+1，求的值． 【分析】（1）利用两点间的距离公式进行解答； （2）利用两点间的距离公式求得OP、PA，然后求PA+PO； （3）把y＝x+1代入所求的代数式进行解答． 【解析】（1）点P与点A的距离：； （2）∵x＝4，y，P（x，y），A（1，0）， ∴P（4，）， ∴PA2，PO3，则 PA+PO＝23； （3）∵点P位于第二象限， ∴x＜0，y＞0， 又∵y＝x+1， ∴|x|+|y|＝﹣x+y＝﹣x+x+1＝1．即的值是1． 2．（2019春•庐阳区校级期中）观察下列等式： ①3②4③5…… （1）写出式⑤：　　； （2）试用含n（n为自然数，且n≥1）的等式表示这一规律，并加以验证． 【分析】（1）根据规律解答即可； （2）根据完全平方公式以及二次根式的性质解答即可． 【解析】（1）式⑤：． 故答案为：． （2）第n个等式为n+2． ∵n为自然数，且n≥1， ∴n+2． 3．（2019春•沭阳县期末）小明在学习二次根式后，发现一些含根号的式子可以写成另一个式子的平方，如：3+2，善于思考的小明进行了以下探索： 设a+b（其中a、b、m、n均为整数），则有：a+b，∴a＝m2+2n2，b＝2mn，这样小明就找到了一种把类似a+b的式子化为平方式的方法． 请你仿照小明的方法探索并解决下列问题： （1）当a、b、m、n均为正整数时，若a+b，用含m、n的式子分别表示a、b得：a＝　m2+3n2　，b＝　2mn　； （2）利用所探索的结论，用完全平方式表示出：7+4　（2）2　． （3）请化简： 【分析】（1）利用完全平方公式展开得到（m+n）2＝m2+3n2+2mn，从而可用m、n表示a、b； （2）直接利用完全平方公式，变形得出答案； （3）直接利用完全平方公式，变形化简即可． 【解析】（1）（m+n）2＝m2+3n2+2mn， ∴a＝m2+3n2，b＝2mn． 故答案为m2+3n2，2mn； （2）7+4（2）2； 故答案为：（2）2； （3）∵12﹣6（3）2， ∴3． 4．（2020春•昭通期末）在日历上，我们可以发现其中某些数满足一定规律，如图是2020年6月份的日历，我们选择其中被框起的部分，将每个框中三个位置上的数作如下计算：7，7，不难发现，结果都是7． （1）请你再在图中框出一个类似的部分并加以验证； （2）请你利用整式的运算对以上规律加以证明． 【分析】（1）直接选择一组数据代入计算得出答案； （2）利用3个数据之间的关系进而计算得出答案． 【解答】（1）解：答案不唯一，如： ＝7； （2）证明：设中间那个数为n，则： ∵ ＝7， ∴7． 5．（2020春•霍邱县期末）观察以下等式： 第1个等式：， 第2个等式：， 第3个等式：， 第4个等式：， … 按照以上规律，解决下列问题： （1）写出第5个等式：　（1）（6）＝51　； （2）写出你猜想的第n个等式：　（1）（n+1）＝n1　（用含n的等式表示），并证明其正确性． 【分析】（1）根据所给等式可得答案； （2）首先写出第n个等式，然后再利用二次根式的乘法进行计算即可． 【解答】（1）解：（1）（6）＝51， 故答案为：（1）（6）＝51； （2）（1）（n+1）＝n1， 证明：∵ ∴， 故答案为：（1）（n+1）＝n1． 6．（2020秋•三水区校级期中）在解决问题：“已知a，求3a2﹣6a﹣1的值”． ∵a1， ∴a﹣1 ∴（a﹣1）2＝2， ∴a2﹣2a＝1， ∴3a2﹣6a＝3， ∴3a2﹣6a﹣1＝2． 请你根据小明的解答过程，解决下列问题： （1）化简：； （2）若a，求2a2﹣12a﹣1的值． 【分析】（1）根据平方差公式计算； （2）利用分母有理化把a化简，根据完全平方公式把原式变形，代入计算即可． 【解析】（1）4﹣2； （2）a3﹣2， 则2a2﹣12a﹣1 ＝2（a2﹣6a+9﹣9）﹣1 ＝2（a﹣3）2﹣19 ＝2（3﹣23）2﹣19 ＝﹣3．