第二章 第六节 指数与对数-备战2022年（新高考）数学一轮复习考点讲解+习题练习

第6节 指数与对数 知识回顾 1．根式的性质 (1)()n＝a(a使有意义)． (2)当n是奇数时，＝a；当n是偶数时，＝|a|＝❶ 2．分数指数幂的意义 (1)a＝(a＞0，m，n∈N*，且n＞1)．(2)a＝＝(a＞0，m，n∈N*，且n＞1)．(3)0的正分数指数幂等于0,0的负分数指数幂没有意义． 3．有理数指数幂的运算性质 (1)ar·as＝ar＋s(a＞0，r，s∈Q)；(2)(ar)s＝ars(a＞0，r，s∈Q)； (3)(ab)r＝arbr(a＞0，b＞0，r∈Q)． 3．对数的概念 (1)对数的定义 ①一般地，如果a(a>0，a≠1)的b次幂等于N，即ab＝N，那么称b是以a为底N的对数，记作b＝logaN，其中，a叫做对数的底数，N叫做真数． ②底数的对数是1，即logaa＝1,1的对数是0，即loga1＝0. (2)几种常见对数 对数形式 特点 记法 一般对数 底数为a(a>0且a≠1) logaN 常用对数 底数为10 lg_N 自然对数 底数为e ln_N 4．对数的性质与运算法则 (1)对数的性质 ①＝N(a>0且a≠1，N>0)； ②logaaN＝N(a>0且a≠1)． (2)对数的重要公式 ①换底公式：logbN＝(a，b均大于零且不等于1，N>0)； ②logab＝(a，b均大于零且不等于1)． (3)对数的运算法则 如果a>0且a≠1，M>0，N>0，那么 ①loga(MN)＝logaM＋logaN； ②loga＝logaM－logaN； ③logaMn＝nlogaM(n∈R)； ④＝logaM. 课前检测 1.【2018年陕西西安高新区高一上学期月考数学试卷】________ 【答案】 【解析】． 2.计算：； 【答案】0 【解析】 3.【2018年陕西西安未央区西安中学高一上学期期中考试数学试卷】 计算 (1) 【答案】 【解析】原式． (2) 【答案】 【解析】原式． 4.计算下列各式求值： 【答案】 【解析】=5 5．下列各式： ①＝a；②(a2－2a－3)0＝1；③＝；④log318－log32＝2. 其中正确的是________．(填序号) 答案　④ 解析　＝①错误； 当a2－2a－3≠0时，(a2－2a－3)0＝1，②错误； ＝－，＝＝，③错误； log318－log32＝log39＝2，④正确． 6．(多选)下列运算结果中，一定正确的是(　　) A．a3a4＝a7 B．(－a2)3＝a6 C.＝a D.＝－π 答案　AD 解析　a3a4＝a3＋4＝a7，故A正确； 当a＝1时，显然不成立，故B不正确； ＝|a|，故C不正确； ＝－π，D正确． 课中讲解 考点一.指数幂的运算 例1.(1) 【答案】 【解析】原式= (2) 【答案】 【解析】 (3) 【答案】 【解析】 变式1.求值（或化简）： (1) ； 【答案】 【解析】 (2) ． 【答案】 【解析】 例2.【2019年浙江台州高一上学期期中考试数学试卷联谊五校】已知，则________ ；________ ． 【答案】； 【解析】【解答】， ， ， 故答案为； 【分析】根据，，整体求解即可． 【备注】【点评】本题考查了代数式的化简计算，注意整体运用计算，难度不大． 变式2.【2019年吉林长春长春市第二实验中学高一上学期期末考试数学试卷】若 ，求 的值． 【答案】 【解析】若 ，则 ， ， 故 ． 考点二.对数运算 例1.【2018年陕西西安西安市第一中学高一上学期期中考试数学试卷】计算：________． 【答案】 【解析】 变式1.计算： (1) 【答案】 【解析】原式 (2) 【答案】 【解析】原式 变式2.计算 (1) 【答案】 【解析】 (2) 【答案】 【解析】 (3) 【答案】 【解析】 例2.若，，则（用表示）等于 (　　) A． B． C． D． 【答案】C 【解析】， 【备注】对数运算 变式3.【2016年浙江省杭州市富阳中学高一上学期数学期中试卷】计算：________ 【答案】 【解析】 【备注】对数运算 变式4.【2019年10月浙江金华东阳中学高一上学期月考数学试卷】若 ，则 用含 的代数式可表示为(　　) A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由 得 ， 所以 【备注】【考点】：对数运算． 例3.【2019年重庆重庆市第八中学高一上学期期中考试数学试卷】在天文学中，天体的明暗程度可以用星等或亮度来描述，两颗星的星等与亮度满足 ，其中星等为 的星的亮度为 ，星等为 的星的亮度为 ，已知太阳的星等是 ，小熊座 星的星等是 ，则太阳与小熊座 星的亮度的比值为(　　) A． B． C． D． 【答案