第一讲 无理数与平方根-【暑假辅导班】2021年新八年级数学暑假精品课程（北师大版）

第一讲 无理数与平方根 【学习目标】 1.能正确地进行判断某些数是否为有理数，加深对有理数和无理数的理解; 2.理解数的平方根的概念，以及开平方的概念，会用根号表示一个数的平方根， 3.掌握平方根的性质，并能应用平方根的性质解决问题。 【基础知识】 1．无理数的相关知识 （1）有理数包括整数和分数．有理数还可以用有限小数或无限循环小数来表示． （2）无限小数包括无限循环小数和无限不循环小数．其中无限不循是有理数，无限循环小数是无理数． 初中范围内学习的无理数有：π，2π等；开方开不尽的数；以及像0.1010010001（两个1之间依次增加一个0）…，等有这样规律的数． 2．平方根 (1)如果一个正数x的平方等于a，即x2＝a，那么这个数x就叫做a的.算术平方根，即x=. (2)如果一个数x的平方等于a，即x2＝a，那么这个数x就叫做a的平方根，即x= ±(a>0). (3)一个正数有两个平方根，0只有一个平方根，是0，负数没有平方根. (4)一个正数的平方根有两个，它们互为相反数，它们的和为0. 【考点剖析】 考点一：无理数的判定 例1．（1）在实数，0，0.131131113…，中，属于无理数的是（ ） A． B．0 C．0.131131113… D． 【答案】C 【详解】解：是分数，属于有理数； 0，均为整数，属于有理数； 0.131131113…是无限不循环小数，属于无理数； 故选：C （2）化简的结果为（ ） A． B．2 C．4 D．16 【答案】B 【详解】解：=2， 故选：B． （3）下列一组数：中，无理数有_______个． 【答案】2 【详解】 有理数有：-8，2.6，， 无理数有：； 故答案为：2 考点二：求一个数的算术平方根 例2． 的算术平方根是__________．的算术平方根是 【答案】，7 【详解】 解：， 的算术平方根是：． ， 的算术平方根是：7． 故答案为：，7． 考点三：求一个数的平方根 例3．的平方根是（ ） A．5 B． C． D． 【答案】B 【详解】解：=25，25的平方根为±5， 故选：B． 例4．求下列各数的平方根． （1）0.09 （2） （3） （4） 【答案】（1）；（2）；（3）；（4）． 【详解】 （1）因为， 所以的平方根是； （2）因为， 所以的平方根是； （3）因为， 所以的平方根是； （4）因为，， 所以的平方根是． 考点四：利用平方根解方程 例5．解方程． （1） （2） （3） 【答案】（1）；（2），；（3），． 【详解】 解：（1）系数化为1得：， 两边同时开平方得：； （2）系数化为1得：， 两边同时开平方得：； 即或， 解得，； （3）移项得： 两边同时开平方得：； 即或， 解得，． 考点五：平方根的应用 例6．如示意图，小宇利用两个面积为1 dm2的正方形拼成了一个面积为2 dm2的大正方形，并通过测量大正方形的边长感受了dm的大小． 为了感知更多无理数的大小，小宇利用类似拼正方形的方法进行了很多尝试，下列做法不能实现的是（ ） A．利用两个边长为2dm的正方形感知dm的大小 B．利用四个直角边为3dm的等腰直角三角形感知dm的大小 C．利用一个边长为dm的正方形以及一个直角边为2dm的等腰直角三角形感知dm的大小 D．利用四个直角边分别为1 dm和3 dm的直角三角形以及一个边长为2 dm的正方形感知dm的大小 【答案】C 【详解】 A：，=8，不符合题意； B：4×(3×3÷2)=18，=18，不符合题意； C：，，符合题意； D：，，不符合题意． 故选：C． 例7．小丽给了小明一张长方形的纸片，告诉他，纸片的长宽之比为3:2，纸片面积为294cm2． （1）请你帮小明求出纸片的周长； （2）小明想利用这张纸片裁出一张面积为157cm2的完整圆形纸片，他能够裁出想要的圆形纸片吗？请说明理由．（π取3.14） 【答案】（1）纸片的周长为70cm；（2）小明不能裁出想要的圆形纸片．理由见解析． 【详解】 （1）设长方形纸片的长为3xcm，宽为2xcm， 得 3x·2x=294 ∵x>0，∴x=7 ∴长方形的长为21cm，宽为14cm ∴2（21+14）=70cm 答：纸片的周长为70cm； （2）小明不能裁出想要的圆形纸片，理由如下： 设完整圆形纸片的半径为rcm， 得 3.14r2=157 解得： r=（负值舍去） ∴r= ∵>7 ∴2 r=2>14 ∴小明不能裁出想要的圆形纸片． 【真题演练】 1．下列实数中是无理数的是（ ） A．0.3 B． C． D． 【答案】