第五讲 二次根式和最简二次根式-【暑假辅导班】2021年新八年级数学暑假精品课程（北师大版）

第五讲 二次根式和最简二次根式 【学习目标】 认识二次根式和最简二次根式的概念，探索二次根式的性质；利用二次根式的性质将二次根式化为最简二次根式. 【基础知识】 1.二次根式的定义：我们把形如 （） 的式子叫做根式； 叫做被开方数；叫做二次根号；根式有意义的条件是：被开方数大于等于0，根式为零被开方数为0； 2.二次根式的性质： ① ， （双重非负性）② （） 3.最简二次根式： ① 被开方数不含有分母（小数）；② 被开方数中不含有可以开方开得出的因数或因式； 【考点剖析】 考点一：二次根式定义 例1．若二次根式有意义，则x的取值范围为（ ） A．x≥ B．x≤- C．x≥- D．x≤ 【答案】C 【解析】 依题意，解得x≥-，故选C. 考点二：二次根式的非负性 例2．若y＝，则xy＝_____． 【答案】9 【解析】 解：y＝有意义， 必须x﹣3≥0，3﹣x≥0， 解得：x＝3， 代入得：y＝0+0+2＝2， ∴xy＝32＝9． 故答案为：9． 考点三：二次根式的性质及应用 例3．（1）先化简，再求值：，其中． 如图是小亮和小芳的解答过程． （1）________的解法是错误的； （2）化简：________； （3）先化简，再求值：，其中． 【答案】(1)小亮；(2) ;(3)-2016 【解析】 （1）∵， ∴1-a=-1006＜0， ∴= =2×1007-1 =2013. ∴小亮的解法是错误的； （2） （3）∵， ∴， 则原式 ． 考点四：实数的大小比较 例4．（1）把表示在数轴上（无理数近似表示在数轴上），并比较它们的大小，用“<”号连接． 【答案】数轴表示见解析， 【详解】 解：在数轴上表示为： 用“<”连接为：． （2）在数轴上标出下列各数，然后用“<”连接起来： 【答案】数轴见解析， 【详解】 解：如图： 用“＜”连接为：． 考点五： 例5．（1）下列二次根式中属于最简二次根式的是（ 　） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】 A、不是最简二次根式，不符合题意； B、不是最简二次根式，不符合题意； C、不是最简二次根式，不符合题意； D、是最简二次根式，符合题意； 故选：D． （2）化简的结果是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】 解：， 故选：C． （3）把化成最简二次根式为_____． 【答案】 【详解】 解：． 故答案为：． （4）化简：＝_____． 【答案】 【详解】 解：， 故答案为：． 【真题演练】 1．下列代数式能作为二次根式被开方数的是（　　） A．3﹣π B．a C．a2+1 D．2x+4 【答案】C 【解析】解：A、3﹣π＜0，则3﹣a不能作为二次根式被开方数，故此选项错误； B、a的符号不能确定，则a不能作为二次根式被开方数，故此选项错误； C、a2+1一定大于0，能作为二次根式被开方数，故此选项错正确； D、2x+4的符号不能确定，则a不能作为二次根式被开方数，故此选项错误； 故选：C． 2．下列根式中，是二次根式的是（ ）. A．π B． C． D． 【答案】D 【解析】 A. π不符合题意，故此选项不正确； B. 不符合题意，故此选项不正确； C. 根号下小于零不符合题意，故此选项不正确； D. 符合题意，故此选项正确； 故选D. 3．下列各式:， (b2) , , , ,其中是二次根式的个数有（ ） A．2个 B．3个 C．4个. D．5个 【答案】B 【解析】 ， (b2)，，符合二次根式的形式，故是二次根式； 的被开方数小于等于0，当小于0时无意义，不是二次根式； 被开方数不确定，不是二次根式； 故选：B． 4．使有意义的的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】 ，被开方数 解得： 故选C 5．要使代数式有意义，则的取值范围是　　 A． B． C． D． 【答案】C 【解析】 解：根据题意，得，解得，. 故选C. 6．下列式子中，a不可以取1和2的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】 A．由5a≥0，所以a≥0，故选项A可取1和2； B．由a+3≥0，所以a≥﹣3，故选项B可取1和2； C．由a2≥0，所以a2+1≥1，故选项C可取1和2； D．由≥0且a≠0，所以a＜0，故选项D不可取1和2； 故选：D． 7．说明命题“=a”是假命题的一个正确的反例是( ) A．a=3 B．a=-3 C．a=0.3 D．a=0 【答案】B 【解析】 解：∵=a， ∴a≥0， 故此命题是假命题的反例就是a是一个负数， 故答案为：B. 8．若代数式有意义，则实数的取值范围是______. 【答案】 【解析】 解：∵代数式有意义， ∴，， 解得：，， ∴实数