第十二讲 正比例函数、一次函数图象与性质-【暑假辅导班】2021年新八年级数学暑假精品课程（北师大版）

第十二讲 正比例函数、一次函数图象与性质 【学习目标】 1.理解-次函数和正比例函数的概念; 2能根据所给条件写出简单的一次函数表达式. 3.了解一次函数两个变量之间的变化规律.在认识一次函数图象的基 础上，掌握一次函数图象及其简单性质; 4.经历对一次函数图象变化规律的探究过程,学会解决一次函数问题 【基础知识】 1.一般地，如果 （k，b是常数，k 0），那么y叫做x的一次函数。 特别地，当一次函数 中的b为0时， （k为常数，k 0）。这时，y叫做x的正比例函数。 2.一次函数的图像 所有一次函数的图像都是一条直线 3.一次函数、正比例函数图像的主要特征： 一次函数 的图像是经过点（0，b）的直线；正比例函数 的图像是经过原点（0，0）的直线。 4.正比例函数的性质 一般地，正比例函数 有下列性质： （1）当k>0时，图像经过第一、三象限，y随x的增大而增大； （2）当k<0时，图像经过第二、四象限，y随x的增大而减小。 5.一次函数的性质 一般地，一次函数 有下列性质： （1）当k>0时，y随x的增大而增大 （2）当k<0时，y随x的增大而减小 在 中，当 时，y随x的增大而增大，此时若 ，则直线 经过第一、二、三象限；若 ，则直线 经过原点及第一、三象限；若 ，则直线 经过第一、三、四象限；当 时，y随x的增大而减小， 此时若 ，则直线 经过第一、二、四象限；若 时，则直线 经过原点及第二、四象限；若 ，则直线 经过第二、三、四象限． 【考点剖析】 考点一：确定一次函数的解析式 例1．（1）若 是正比例函数，则b的值是（　　） A．0 B． C． D． 【答案】C 【详解】 ∵ 是正比例函数， ∴ ，解得： ， 故选：C． （2）已知 与 成正比例，且当 时， ． （1）求出 与 之间的函数解析式； （2）当 时，求 的值． 【答案】（1）y=2x-2；（2）0 【详解】 解：（1）设y=k（x-1）， 把x=3，y=4代入得（3-1）k=4，解得k=2， 所以y=2（x-1）， 即y=2x-2； （2）当x=1时， y=2×1-2=0． 考点二：函数图象上的点 例2．（1）已知点 是一次函数 图像上任意一点，则 的值等于（ ） A．1 B．-1 C． D． 【答案】A 【详解】 ∵点 是一次函数 图象上任意一点， ∴-2m+1=n， ∴ =1． 故选A． （2）已知点A的坐标为 和点B的坐标为 都在一次函数 图象上，则 的值为________． 【答案】4 【详解】 解：当x=a时，y1=4a-2； 当x=a+1时，y2=4（a+1）-2=4a+2． ∴y2-y1=4a+2-（4a-2）=4． 故答案为：4． 考点三：一次函数与坐标轴的交点 例3．（1）如果直线 和 的交点在x轴上，那么 ： 等于（ ） A．4 B．－4 C．1：4 D．（－1）：4 【答案】D 【详解】 解：令 ，则 ， 解得 ， ， 解得 ， 两直线交点在 轴上， ， ． 故选：D． （2）平面直角坐标系中，点 为坐标原点，若直线 与 轴、 轴分别交于点A， ，则 的面积为（ ） A．－5 B．4 C．5 D．10 【答案】C 【详解】 把x=0代入 得y=5， 把y=0代入 得 ，解得x=-2， ∴直线 与 轴的交点A的坐标为（-2，0），与y轴的交点B的坐标为（0，5）， ∴OA=2，OB=5， ∴ 的面积为 ． 故选C． 考点四：一次函数的图象性质 例4．（1）已知正比例函数y=mx的图象过第一、三象限，则m的取值范围是（　　） A．m<0 B．m≤0 C．m≥0 D．m>0 【答案】D 【详解】 解：∵正比例函数y=mx的图象过第一、三象限， ∴m>0， 故选D． （2）在平面直角坐标系中，正比例函数 的图象的大体位置是（　　） A．B．C．D． 【答案】B 【详解】 根据正比例函数图象的性质，知： 当 时，图象是经过二、四象限的一条直线． 故选：B． （3）如果函数 的图像经过第二象限，那么 的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】 解：根据题意得：m＞0， 故选：A． （4）已知一次函数y＝ax+a+2的图象与y轴的正半轴相交，且y随x的增大而减小，则a的值可以是（　　） A． B．﹣1 C．﹣2 D． 【答案】B 【详解】 解：∵一次函数y＝ax+a+2，y随x的增大而减小， ∴a 0， 又∵一次函数y＝ax+a+2的图象与y轴的正半轴相交， ∴a+2 0， ∴a -2， ∴-2 a 0， 则a的值可以是-1． 故选择：B． （5）已知点（﹣3，y1）、（1，3）、（2，y2）在一次函数y＝kx+5的图象上，则y1、y2、3的大小关系是（　　） A．3＜y2＜y1 B．y1＜3