第七讲 勾股定理-【暑假辅导班】2021年新八年级数学暑假精品课程（北师大版）

第七讲 勾股定理 【学习目标】 1.掌握勾股定理的作用： (1)已知直角三角形的两边求第三边。 (2)已知直角三角形的一边，求另外两边的关系。 2.根据情境或条件构造出直角三角形，从而利用勾股定理解决实际问题，充分体现数学学以至用的特点。 【基础知识】 1. 如果直角三角形两直角边分别为a、b，斜边为c，那么 a 2+b2= C2，即直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方. 2. 勾股定理是数形结合的典范，当三角形有一个直角这一“形”的特征时，就可以得到三边的数量关系. 3.运用勾股定理进行计算时，除了掌握公式 c2= a2＋b2外，还应掌握它的几种变式，即a2= c2－b2; b2= c2－a2. 总之，已知直角三角形的两条边的长，就可以第三边的长. 【考点剖析】 考点一：勾股定理的简单应用 例1．（1）在△ABC中，∠C＝90°，BC＝2，AC＝2，则AB＝_____． 【答案】2 【详解】 解：在△ABC中，∠C＝90°，BC＝2，AC＝2，由勾股定理得：AB＝＝＝2． 故答案是：2． （2）已知一个直角三角形的两直角边长分别是1和3，则斜边长为________． 【答案】 【详解】 解：∵直角三角形的两直角边长分别是1和3， ∴斜边==， 故答案为：． （3）直角坐标系中有一点为坐标原点，则_________． 【答案】 【详解】 解：， 故答案为：． （4）如图，△ABC中，∠ACB＝90°，分别以AC、AB为边向外作正方形，面积分别为S1，S2，若S1＝2，S2＝5，则BC 2＝_____． 【答案】3 【详解】 解：∵∠ACB=90°， ∴， ∴， ∴=5-2=3， 故答案为：3． 考点二：勾股定理的证明 例2．三国时代东吴数学家赵爽（字君卿，约公元3世纪）在《勾股圆方图注》一书中用割补的方法构造了“弦图”（如图1，并给出了勾股定理的证明．已知，图2中涂色部分是直角边长为，斜边长为的个直角三角形，请根据图2利用割补的方法验证勾股定理． 【答案】见解析 【分析】 根据总面积=以c为边的正方形的面积+2个直角边长为的三角形的面积=以b为上底、(a+b)为下底、高为b的梯形的面积+以a为上底、(a+b)为下底、高为a的梯形的面积，据此列式求解． 【详解】 证明：总面积 考点三：勾股定理与折叠问题 例3．如图，将等腰直角三角形（）沿折叠，使点落在边的中点处，，那么线段的长度为 A．5 B．4 C．4. 25 D． 【答案】D 【详解】 解：由折叠的性质可得AE=A1E， ∵△ABC为等腰直角三角形，BC=6， ∴AB=6， ∵A1为BC的中点， ∴A1B=3， 设AE=A1E=x，则BE=6-x， 在Rt△A1BE中，由勾股定理可得32+（6-x）2=x2，解得x=， 故选：D． 例4．已知，如图，折叠长方形（四个角都是直角，对边相等）的一边使点落在边的点处，已知，，求的长. 【答案】 【详解】 ∴由勾股定理得， ． 设，则． ∴由勾股定理得 ∴ 解得 ∴EC的长为3． 【真题演练】 1．在中，、、的对应边分别是a、b、c，若，则下列等式中成立的是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】 解：∵在中，， ∴， ∴为直角三角形， 则根据勾股定理得：． 故选：C． 2．在平面直角坐标系中，点P (3，4)到原点的距离是（ ） A．3  B．4  C．5 D．7 【答案】C 【详解】 解：∵ P (3，4) ， ∴点P到原点的距离= 故选：C． 3．如图所示，在等腰Rt△ABC中，∠ABC＝90°，BA＝BC＝10，直线l过点B，分别过点A、C作直线l的垂线，垂足分别为E、F，若AE＝8，则CF的长为（　　） A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】B 【详解】 ∵∠ABC＝90°， ∴∠ABE+∠CBF＝90°． ∵AE⊥l，CF⊥l， ∴∠AEB＝∠BFC＝90°， ∴∠ABE+∠BAE＝90°， ∴∠BAE＝∠CBF， 在△ABE和△BCF中， ， ∴△ABE≌△BCF（AAS）， ∴AE＝BF＝8， ∴， 故选：B． 4．如图，在的网格中，每个小正方形的边长均为1，点A，B，C都在格点上，于点D，则AD的长为（ ） A．1 B．2 C． D． 【答案】B 【详解】 解：由勾股定理得：， ∵， ∴， ∴， 故选：B． 5．有一根长33厘米的木棒（粗细忽略），木箱的长、宽、高分别为24厘米、18厘米、16厘米，这根木棒理论上________（填“能”或“不能”）放进木箱． 【答案】能 【详解】 解：由题意得当木棒斜放在木箱上时，如图所示： ∴，∠ABC=90°， ∴在Rt△ABC中，， ∴在Rt△ACG中，， ∵34＞33， ∴这根木棒理论上能放进木箱； 故答案为