第六讲 二次根式的运算-【暑假辅导班】2021年新八年级数学暑假精品课程（北师大版）

第六讲 二次根式的运算 【学习目标】 会进行二次根式的简单四则运算，并解决简单的实际问题. 【基础知识】 1.二次根式的乘法法则： （ ）（主要用于化简） （ ） 2.二次根式的除法法则： （） 3.二次根式的乘方法则： （） （） 4.二次根式的加减运算方法：① 不是最简二次根式的要先化成最简二次根式；② 是最简二次根式，只把二次根式系数想加减，二次根式不变照写； 【考点剖析】 考点一：二次根式的乘法 例1．（1）计算：__________． 【答案】 【详解】 解： 故答案为： （2）计算的结果等于________． 【答案】1 【详解】 解：原式= =- =5-4 =1 故答案为：1． （3）计算的结果等于_________． 【答案】 【详解】 解： ． 故答案为：． 考点二：二次根式的除法 例2．（1）计算：________． 【答案】3 【详解】解：， 故答案为：3． （2）计算的结果是_______． 【答案】 【详解】 解：； 故答案为． 考点三：二次根式的加减运算 例3．（1）计算﹣2的结果是______． 【答案】 【详解】 解：原式． 故答案为：． （2）计算： 【答案】 【解析】 解： . （2） 考点四：二次根式的混合运算 例4．计算： （1）； （2）； （3）； （4）． 【答案】（1）；（2）；（3）；（4） 【详解】 解：（1）； （2） ； （3） ； （4） ． 考点五：二次根式的应用 例5．（1）如图，甲、乙两张卡片上均有一个系数为整数的多项式，其中乙中二次项系数因为被污染看不清楚． （1）嘉嘉认为污染的数为，计算“”的结果； （2）若，淇淇认为存在一个整数，可以使得“”的结果是整数，请你求出满足题意的被污染的这个数． 【答案】（1）；（2）． 【详解】解：（1） ； （2）设污染的数字为， ∴ ∵ ∴是整数 ∵的结果是整数 ∴是整数 ∵是无理数，是整数 ∴ 即存在整数满足题意． 例6．已知三角形的三边长分别为，，，求其面积，古希腊的几何学家海伦给出海伦公式（其中），我国南宋时期数学教秦九昭提出了秦九昭公式，若一个三角形的三边长分别为2，2，3，请你选择自己喜欢的公式计算这个三角形的面积． 【答案】 【详解】解：由题意得：， ∴， ∴． 【真题演练】 1．下列各数中，与的积为无理数的是( ) A． B． C． D． 【答案】B 【解析】 A、，不是无理数，错误； B、，是无理数，正确； C、，不是无理数，错误； D、，不是无理数，错误； 故选B． 2．已知：是整数，则满足条件的最小正整数为( ) A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】D 【解析】 ∵=，且是整数， ∴2是整数，即5n是完全平方数， ∴n的最小正整数为5． 故选D． 3． 与互为倒数，则（ ） A．a﹦b－1 B．a＋b﹦1 C．a﹦b＋1 D．a＋b﹦－1 【答案】C 【解析】 解：由题意得， ∴a-b=1，即a=b+1 故选：C 4．已知m＝，n＝，则代数式的值为 （　　） A．3 B．3 C．5 D．9 【答案】B 【解析】 由已知可得：， 原式= 故选：B 5．下列计算正确的个数是（ ） ① ② ③ ④ A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【解析】 A、原式=4a2，所以A选项的计算正确； B、原式=a，所以B选项的计算正确； C、原式=，所以C选项的计算错误； D、不能合并，所以D选项的计算错误． 故选：B． 6．下列运算正确的是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】 解：A选项和不是同类二次根式，不能相加，A错误； B选项，B错误； C选项，被开方数不能是负数，C错误； 7．若a＝1﹣，b＝﹣，则a与b的关系是（　　） A．互为相反数 B．相等 C．互为倒数 D．互为有理化因式 【答案】B 【解析】 b＝﹣＝﹣（﹣1）＝﹣+1， 而a＝1-， 所以a＝b． 故选：B． 8．若，则化简的结果是（ ） A． B． C． D．1 【答案】D 【解析】 解：∵1≤a≤2， ∴a-1≥0，a-2≤0， ∴原式==a-1+2-a=1， 故答案为：D． 9．若 x ＝﹣1，则x3+x2-3x+2020 的值为____________． 【答案】2019 【解析】 解：原式= 10．若，那么下面各式:①;②；③；④，其中正确的是______ (填序号) 【答案】②③ 【解析】 解：因为若ab>0，a+b<0﹐所以a<0，b<0. 由于a<0，b<0， 与 无意义，所以①的变形错误； ，故②正确； ， 由于b<0，∴原式=-b，故③正确； 由于a<0，∴原式=-a，故④计算错误.