第九讲 勾股定理的应用-【暑假辅导班】2021年新八年级数学暑假精品课程（北师大版）

第九讲 勾股定理的应用 【学习目标】 知识与技能:经历多种方法探索勾股定理，进一步利用勾股定理进行简单的计算和证明，解决实际问题。 【基础知识】 1能运用勾股定理及直角三角形的判别条件解决简单的实际问题. 2.解决实际问题时，要善于构造直角三角形，把实际问题抽象成几何问题. 【考点剖析】 考点一：求梯子滑动的距离 例1．一架云梯AB斜靠在墙上，梯子顶端距墙脚的距离AC＝24米，梯子底端距墙脚的距离BC＝7米． （1） 求梯子的长度． （2） 如果梯子的顶端下滑了4米，那么梯子的底端在水平方向也滑动4米吗？ 为什么？ 【答案】（1）25米；（2）梯子底部在水平方向滑动了8米 【详解】 解：（1）由题意可得： AC=24米，BC=7米，∠ACB=90°， ∴AB==25米， ∴梯子的长度为25米； （2）如图，在Rt△CDE中， ∵CD=AC-4=24-4=20米，DE=25米， ∴CE==15米， ∴BE=CE-BC=15-7=8（米）． 答：梯子底部在水平方向滑动了8米． 考点二：航海问题 例2．如图，一艘轮船从小岛处出发，向正北方向以每小时20海里的速度行驶了1.5小时到达处执行任务，再向正东方向以相同的速度行驶了2小时到达处继续执行任务，然后以相同的速度直接从处返回处轮船返回时比出去时节省了多少时间？（不含执行任务时间） 【答案】1小时 【详解】 （海里）， （海里）， 再Rt△ABC中，∠ABC=90°， 由勾股定理得：（海里）， ∴返回所用时间为：小时， 出去所用时间为：小时， ∴则返回时比出去时节省的时间为：小时． 答：返回时比出去时节省了1小时． 考点三：求旗杆的高度 例3．小明想知道学校旗杆的高，他发现旗杆上的绳子垂到地面还多了1 m，当他把绳子的下端拉开5 m后，发现下端刚好接触地面，求旗杆的高． 【答案】旗杆的高度为12米 【详解】 解：设旗杆的高度为x米，则绳子的长度为（x+1）米， 根据勾股定理可得：x2+52=（x+1）2， 解得，x=12． 答：旗杆的高度为12米． 【真题演练】 1．如图，原来从A村到B村，需要沿路A→C→B（）绕过两地间的一片湖，在A，B间建好桥后，就可直接从A村到B村．已知，，那么，建好桥后从A村到B村比原来减少的路程为（ ） A．2km B．4km C．10 km D．14 km 【答案】B 【详解】 解：由题意可得： 则打通隧道后从A村到B村比原来减少的路程为：（km）． 故选：B． 2．如图，在灯塔O的东北方向8海里处有一轮船A，在灯塔的东南方向6海里处有一渔船B，则AB间的距离为（　　　） A．9海里 B．10海里 C．11海里 D．12海里 【答案】B 【详解】 解：已知东北方向和东南方向刚好是一直角，∴∠AOB=90°， 又∵OA=8海里，OB=6海里，∴AB=（海里）． 故选：B． 3．如图，为修铁路需凿通隧道，测得，，，若每天凿，则把隧道凿通需要（　　　） A．天 B．天 C．天 D．天 【答案】A 【详解】 解：∵， ∴. 在中，，， ∴， ∴隧道凿通需要（天）， ∴天才能把隧道凿通． 故选：． 4．如图，梯子AB靠在墙上，梯子的底端A到墙根O的距离为5m，梯子的顶端B到地面的距离为12m，现将梯子的底端A向外移动到A'，使梯子的底端A'到墙根O的距离等于6m，同时梯子的顶端B下降至B'，那么BB'（　　　） A．小于1m B．大于1m C．等于1m D．小于或等于1m 【答案】A 【详解】 解：在Rt△AOB中，由勾股定理可知AB2＝AO2＋OB2＝169， 在Rt△A′OB′中由勾股定理可知A′B′2＝A′O2＋OB′2． ∵AB＝A′B′， ∴A′O2＋OB′2＝169， ∴OB′＝=， ∴BB′＝OB−OB′＝12−＜1． 故选：A． 5．《九章算术》内容丰富，与实际生活联系紧密，在书上讲述了这样一个问题“今有垣高一丈，倚木于垣，上与垣齐．引木却行一尺，其木至地．问木长几何？”其内容可以表述为：“有一面墙，高一丈．将一根木杆斜靠在墙上，使木杆的上端与墙的上端对齐，下端落在地面上．如果使木杆下端从此时的位置向远离墙的方向移动1尺，则木杆上端恰好沿着墙滑落到地面上．问木杆长多少尺？”（说明：1丈＝10尺）设木杆长x尺，依题意，下列方程正确的是（　　） A．x2＝（x﹣1）2+102 B．（x+1）2＝x2+102 C．x2＝（x﹣1）2+12 D．（x+1）2＝x2+12 【答案】A 【详解】 如图所示，依题意BA=10尺，CD=1尺，AC=BD， 设木杆长x尺，AC=x尺，则BC=（x-1）尺，在RtΔABC中，由勾股定理得AC2=AB2+BC2即 x2=102+(x-1)2． 故选择：A． 6．如图，要为一段高5m，长13m的楼梯铺上红地毯，