第二讲 立方根-【暑假辅导班】2021年新八年级数学暑假精品课程（北师大版）

第二讲 立方根 【学习目标】 了解立方根的概念，会用根号表示一个数的立方根:会用开立方运算求一个数的立方根，与立方互为逆运算，了解立方根的性质:区分立方根与平方根的不同: 【基础知识】 1．如果x＝a，则x叫做a的立方根；记作。 2．每个数a都只有一个立方根。 3．正数的立方根是正数；0的立方根是0；负数的立方根是负数。 4．a的立方根是a，即＝a。 5．立方根等于本身的数是0，±1。 【考点剖析】 考点一：立方根的辨析 例1．（1）下列说法中，错误的有（ ） ①任何数都有算术平方根；②正数的平方根一定是正数；③的算术平方根是；④立方根不可能是正数；⑤任何实数都有立方根 A．①②③④ B．②③④⑤ C．①②④⑤ D．①③④⑤ 【答案】A 【详解】 解：①负数没有算术平方根，故错误； ②正数的平方根为一正一负两个数，故错误； ③的算术平方根是，故错误； ④立方根可能是正数，故错误； ⑤任何实数都有立方根，故正确； 故选A． （2）按要求填写下列各数： ①倒数是它本身的数是_________． ②相反数是它本身的数是_________． ③绝对值是它本身的数是_________． ④平方是它本身的数是_________． ⑤平方根是它本身的数是_________． ⑥算术平方根是它本身的数是_________． ⑦立方是它本身的数是_________． ⑧立方根是它本身的数是_________． 【答案】±1；0；非负数；0，1；0；0，1；1，0，-1；-1，0，1 【详解】 解：①倒数是它本身的数是±1， ②相反数是它本身的数是 0， ③绝对值是它本身的数是 非负数， ④平方是它本身的数是 0，1， ⑤平方根是它本身的数是 0， ⑥算术平方根是它本身的数是 0，1， ⑦立方是它本身的数是 1，0，-1， ⑧立方根是它本身的数是-1，0，1， 故答案为：±1，0，非负数，0，1；0；0，1；1，0，-1；-1，0，1． 考点二：求一个数的立方根 例2．（1）计算：________． 【答案】 【详解】 解：． 故答案为：． （2）计算_______． 【答案】 【详解】解：， 故答案为：． 考点三：利用立方根解方程 例3．解下列方程： （1）2x3＝﹣16； （2）25（x2﹣1）＝24． 【答案】（1）；（2） 【详解】 解：（1）， ， ． （2）， ， ， ． 考点四：立方根的应用 例4．小燕在测量铅球的半径时，先将铅球完全浸没在一个带刻度的圆柱形小水桶中，拿出铅球时，小燕发现小水桶中的水面下降了，小燕量得小水桶的直径为，于是她就算出了铅球的半径．你知道她是如何计算的吗？请求出铅球的半径．（球的体积公式，r为球的半径．） 【答案】3cm． 【详解】 解：设球的半径为r， 小水桶的直径为，水面下降了， 小水桶的半径为6cm， 下降的水的体积是π×62×1=36π(cm3)， 即， 解得：，， 答：铅球的半径是3cm． 例5．如图所示的正方形纸板是由两张大小相同的长方形纸板拼接而成的，已知一个长方形纸板的面积为162平方厘米．（提示：182＝324） （1）求正方形纸板的边长； （2）若将该正方形纸板进行裁剪，然后拼成一个体积为343立方厘米的正方体，求剩余的正方形纸板的面积． 【答案】（1）正方形纸板的边长为18厘米；（2）剩余的正方形纸板的面积为30平方厘米 【详解】 解：（1）依题意得：18（cm）， 答：正方形纸板的边长为18厘米； （2）依题意得：7（cm）， 则剪切纸板的面积＝7×7×6＝294（cm2）， 剩余纸板的面积＝324﹣294＝30（cm2） 答：剩余的正方形纸板的面积为30平方厘米． 考点五：平方根、立方根的综合应用 例6．已知的算术平方根是，的立方根是． （1）求、的值； （2）求的平方根． 【答案】（1），；（2）±6 【详解】解：（1）∵的算术平方根是1， 则=12， 解得x=1， ∵2x+y﹣6的立方根是2． ∴2x+y﹣6=23=8， ∴2+y-6=8， 解得y=12， ∴x=1，y=12 （2）当x=1，y=12时，3xy=3×1×12=36， ∵36的平方根是±6， ∴3xy的平方根±6． 【真题演练】 1．下列各式运算中，正确的是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】 解：A、，故选项错误； B、，故选项错误； C、，故选项错误； D、，故选项正确； 故选D． 2．下列计算正确的是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】 解：A、，故错误； B、，故错误； C、，故正确； D、，故错误； 故选C． 3．下列说法错误的是（ ） A．0的平方根是0 B．的平方根是 C．算术平方根等于它