第八讲 一定是直角三角形吗-【暑假辅导班】2021年新八年级数学暑假精品课程（北师大版）

第八讲 一定是直角三角形吗 【学习目标】 1.会用勾股定理逆定理判定三角形是不是直角三角形. 2.理解勾股数的概念，并能准确判断一组数是不是勾股数 【基础知识】 1.如果三角形的三边a、b、c满足 a 2+b2= c2，那么这个三角形是直角三角形. 2.满足条件a 2+b2= c2的三个正整数，称为勾股数，常见的数组有3、4、5；5、12、13；8、15、17等等.这些数组的倍数仍然是勾股数组. 【考点剖析】 考点一：勾股数 例1．（1）下列各组数据中，是勾股数的是（ ） A．3，4，5 B．1，2，3 C．8，9，10 D．5，6，9 【答案】A 【详解】 解：A、，能构成直角三角形，是正整数，故是勾股数； B、，不能构成三角形，故不是勾股数； C、，不能构成直角三角形，故不是勾股数； D、，不能构成直角三角形，故不是勾股数． 故选：A． （2）下列各组数中，是勾股数的是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】 解：A、，不能构成直角三角形，故此选项错误； B、，，，不是整数，故此选项错误； C、，能构成直角三角形，是整数，故此选项正确； D、，，，不是整数，故此选项错误； 故选：C． 考点二：直角三角形的判定 例2．（1）下列条件中，能判断是直角三角形的有（ ） ①；②；③； ④；⑤；⑥． A．5个 B．4个 C．3个 D．2个 【答案】A 【详解】解：①， ∴， ∴∠C=90°，即△ABC为直角三角形； ②， ∴， ∴， ∴∠A=90°，即△ABC为直角三角形； ③， ∴=，即△ABC为直角三角形； ④， ∴可以假设∠A=6k，∠B=3k，∠C=2k， ∴6k+3k+2k=180°， ∴k=， ∴∠A=＞90°，即△ABC是钝角三角形； ⑤， 设∠A=x，∠B=2x，∠C=3x，则x+2x+3x=180°， 解得x=30°，故∠C=3x=90°，即△ABC是直角三角形； ⑥， 设AB=3x，AC=4x，BC=5x，则（3x）2+（4x）2=（5x）2，即△ABC是直角三角形， 故选：A． （2）如图，根据下列条件，不能判断是直角三角形的是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】 解：A、∠D=20°，∠B=70°， 则∠BAD=180°-20°-70°=90°，则△ABD是直角三角形； B、AB=5，AD=12，BD=13，满足， 则△ABD是直角三角形； C、AC=BC=CD，则∠B=∠CAB，∠D=∠CAD， ∴∠BAD=∠CAB+∠CAD=（∠B+∠CAB+∠D+∠CAD）=90°，则△ABD是直角三角形； D、∠B=3∠D，∠BAD=8∠D， 则3∠D+8∠D+∠D=180°， 解得：∠D=15°，则∠BAD=8∠D=120°，则△ABD不是直角三角形； 故选D． 考点三：勾股定理逆定理的应用 例3．古埃及人曾用下面的方法得到直角：如图他们用13个等距的结把一根绳子分成等长的12段，一个工匠同时握住绳子的第1个结和第13个结，两个助手分别握住第4个结和第8个结，拉紧绳子，就会得到一个直角三角形，其直角在第4个结处． （1）你能说说其中的道理吗？ （2）仿照上面的方法，你能否只用绳子，设计一种不同于（1）的直角三角形（在图2中，只需画出示意图．） 【答案】（1）见解析；（2）见解析 【详解】解：（1）设相邻两个结点的距离为x，则此图1中的三边长分别为、、， ∵， ∴以、、为边长的三角形是直角三角形，即是直角三角形，其中； （2）∵， ∴如图所示，即为所求（答案不唯一，正确即可得分）． 例4．如图，在中，∠ACB=90°，AB=13，AC=12，点D为外一点，连接BD， CD，测得CD=4，BD=3，求四边形ABDC的面积． 【答案】36． 【详解】 解：在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=12，AB=13， ∴BC2=AB2-AC2=132-122=25， ∴BC=5， ∵CD=4，BD=3， ∴CD2+BD2=42+32=25， ∴CD2+BD2=BC2， ∴△DBC是直角三角形，且∠D=90°， ∴S△DBC=BD×DC=×3×4=6； 由（1）知在Rt△ABC中，∠BCA=90°，AC=12，BC=5， ∴S△ABC=BC×AC=×5×12=30． ∴S四边形ABCD=S△ABC+S△DBC=30+6=36． 【真题演练】 1．在下列由线段a，b，c的长为三边的三角形中，不能构成直角三角形的是（　　） A．a＝4，b＝5，c＝6 B．a＝12，b＝5，c＝13 C．a＝6，b＝8，c＝10 D．a＝7，b＝24，c＝25 【答案】A 【详解】 A、，所以该三角形不是直角三角形，故该选项符合题意； B、，所以该三角形是直角三角形，故该选项不符合题意； C、，