第19讲 二次函数图像性质的应用 -【暑假辅导班】2021年新九年级数学暑假精品课程（沪教版）

第19讲 二次函数图像性质的应用 【学习目标】 二次函数在实际生活中的应用主要包括以下几个方面： （1）二次函数与经济问题，主要用于求解利润最大化； （2）二次函数与面积问题，涉及到实际图形面积关系式的表达、面积最值的求 解等； 二次函数与拱桥问题，二次函数的图像与拱桥横截面的形状都是抛物线状， 所以利用二次函数求解拱桥问题在实际生活中很常见； 二次函数与物体的运动轨迹：在实际生活中，由于只受重力的作用，掷出 的铅球、踢出的足球、投出的篮球等物体的运动轨迹一定是抛物线形状， 则可以利用二次函数的图像性质求解相关的问题． 当然二次函数也会与其他的知识点相结合，例如二次函数与一次函数、二次函数与一元二次方程、二次函数与不等式等的代数综合，以及二次函数与相似三角形、二次函数与圆、二次函数与动点等的几何综合，这些内容我们会在秋季班的课程中深入地学习． 【基础知识】 一、二次函数与利润最大化 求解二次函数与利润最大化的问题，主要是根据题意列出相关的二次函数解析式，再通过配方的方式求解最大值． 这是一种实际应用的题型，需根据自变量的实际意义确定函数的定义域，在求解最大值时，也需注意自变量的取值范围． 二、二次函数与面积问题 求解二次函数与面积结合的问题时，基本方法上与利润最大化是相同的，也是通过配方的方式求解相关面积的最值，当然也需要注意自变量的取值范围． 而与利润最大化问题不同的是，面积问题中可能会涉及到三角形、四边形或者圆等图形，也可能会出现动点与面积相结合的类型，变化较多． 三、二次函数与拱桥问题 二次函数与拱桥问题的解题，依赖于合理的平面直角坐标系的建立，继而在平面直角坐标系中，利用二次函数的图像性质解答相关的问题． 【考点剖析】 考点一：二次函数与利润最大化 例1．某商品进价为90元/个，按100一个出售，能售出500个，如果这种商品每涨价1元，其销售量就减少10个，为了获得最大利润，单价应定为__________． 【难度】★★ 【答案】120元 【解析】可设商品价格在100元基础上涨 元，其总利润为 元， 总利润=单个利润×销量， ， 化为顶点式即为 ，可知 时有最大利润，此时商品单价 为 元． 【总结】根据题意列出相应的函数解析式，化为顶点式即可求其最值． 例2．某商店以120元每件的成本购进一批新产品，在试销阶段，每件产品的销售价x（元）与产品的日销售量y（台）之间的关系如下表所示： x 130 150 165 y 70 50 35 （1）若日销售量y是销售价x的一次函数，求这个一次函数； （2）每件产品的销售价定为多少元时，日销售利润最大，最大利润为多少元？ 【难度】★★ 【答案】（1） ；（2）1600元 【解析】（1）依题意可设 ， 则有 ，解得 ，即这个一次函数解析式为 ； （2）总利润=单个利润×销量，则其总利润为 ， 可知 时商品有最大日销售利润1600元． 【总结】根据题意列出相应的函数解析式，化为顶点式即可求其最值． 例3．某商场试销一种成本为每件60元的服装，规定试销期间销售单价不低于成本单价，且获利不得高于45%，经试销发现，销售量y（件）与销售单价x（元）符合一次函数y = kx + b，且x = 65时，y = 55；x =75时，y = 45． （1）求一次函数y = kx + b的表达式； （2）若该商场获得利润为W元，试写出利润W与销售单价x之间的关系式；销售单价定 为多少元时，商场可获得最大利润，最大利润是多少元？ （3）若该商场获得利润不低于500元，试确定销售单价x的范围． 【难度】★★ 【答案】（1） ；（2）单价87元时有最大利润891元；（3） 【解析】（1）依题意有 ，解得 ，即一次函数解析式为 ； 销售利润=单个利润×销售量，由此可得 ，化为顶点式， ，又商场最大利润不得高于45%，可知定价最高不 超过 元，即 取值范围是 ，函数开口向下，在对称轴左侧 函数单调递增，可知定价87元时，商场有最大利润 元； （3）令 ，解得 ， ，函数开口方向向下，结合 ，可知利润不低于500的范围是 ． 【总结】根据题意列出相应的函数解析式，求最值时需要注意根据题目条件确定好相应自变量取值范围，适当结合函数增减性进行解题． 例4．某商场将进价为2000元的冰箱以2400元售出，平均每天能售出8台，为了配合国家“家电下乡”政策的实施，商场决定采取适当的降价措施．调查表明：这种冰箱的售价每降低50元，平均每天就能多售出4台． 假设每台冰箱降价x元，商场每天销售这种冰箱的利润y元，请写出y与x之间的函 数关系式； 商场要想在这种冰箱销售中每天盈利4800元，同时又