第18讲 二次函数的解析式的确定-【暑假辅导班】2021年新九年级数学暑假精品课程（沪教版）

第18讲 二次函数的解析式的确定 【学习目标】 二次函数的学习必然离不开二次函数解析式的确定，因为求解二次函数的解析式是二次函数知识的实际运用中的必不可少的一环．本讲主要讲解利用二次函数的一般式、顶点式和交点式，以及通过二次函数的平移和对称求解二次函数解析式的方法，重点在于根据不同的条件，灵活选择求解二次函数解析式的方法，从而快速准确的确定二次函数的解析式． 【基础知识】 一、一般式 （ ） （1）任何二次函数都可以整理成一般式 （ ）的形式； （2）如果已知二次函数的图像上三点的坐标，可用一般式求解二次函数的解析式． 二、顶点式： （ ） （1）任何二次函数经过配方都可以整理成 （ ）的形式，这叫做二次函数的顶点式，而（ ，k）为抛物线的顶点坐标； （2）如果已知二次函数的顶点坐标和图像上任意一点的坐标，都可以用顶点式来求解二次函数的解析式； （3）对于任意的二次函数 ，都可以配方为： 的形式． 三、交点式 （ ） （1）交点式： （ ），其中x1 ，x2为二次函数图像与x轴的两个交点的横坐标； （2）已知二次函数与x轴的交点坐标，和图像上任意一点时，可用交点式求解二次函数解析式； （3）已知二次函数与x轴的交点坐标（x1，0）、（x2，0），可知其对称轴为 ； （4）根据二次函数的对称性可知，对于函数图像上的两点（x1，a）、（x2，a），如果它们有相同的纵坐标，则可知二次函数的对称轴为 ； （5）对于任意二次函数 ，当 时，即 ，根据一元二次方程的求根公式可得： 、 ； （6）对称式： （ ），当抛物线经过点（x1，k）、（x2，k）时，可以用对称式来求解二次函数的解析式． 四、二次函数 的平移 （1）将二次函数 左右平移： 向左平移m个单位，函数解析式变为 ； 向右平移m个单位，函数解析式变为 ． （2）将二次函数 上下平移： 向上平移n个单位，函数解析式变为 ； 向下平移n个单位，函数解析式变为 ． （3）通常，在平移前，将二次函数 化成 的形式，再根据平移的情况写出平移后函数的顶点式，再将顶点式整理成一般式． 五、二次函数的轴对称 关于x轴对称： 关于x轴对称后，得到的解析式是 ； 关于x轴对称后，得到的解析式是 ． 关于y轴对称： 关于y轴对称后，得到的解析式是 ； 关于y轴对称后，得到的解析式是 六、二次函数的中心对称 关于原点对称： 关于原点对称后，得到的解析式是 ； 关于原点对称后，得到的解析式是 ． 关于顶点对称： 关于顶点对称后，得到的解析式是 ； 关于y轴对称后，得到的解析式是 ． 关于点（p，q）对称： 关于点（p，q）对称后，得到的解析式是 ． 【考点剖析】 考点一：一般式 （ ） 例1．已知二次函数的图像经过点A（ ， ）、B（0， ）和C（1，1）．求这个二次函数的解析式． 【难度】★ 【答案】 ． 【解析】设二次函数为 ，把A、B、C代入二次函数解析式，可得： ，解得 ． 所以这个二次函数的解析式： ． 【总结】考查学生利用一般式求解二次函数解析式，解三元一次方程组． 例2．已知二次函数 图像经过点（0，3）、（3，0）、（ ， ）． （1）求这个二次函数的解析式； （2）求这个二次函数的最值． 【难度】★★ 【答案】（1） ；（2）函数有最大值，最大值为 ． 【解析】（1）把（0，3）、（3，0）、（ ， ）代入二次函数解析式，可得： ，解得 ，所以这个二次函数的解析式： ； （2） ，则当 时，函数有最大值，最大值为 ． 【总结】考查学生利用一般式求解二次函数解析式，解三元一次方程组． 例3．已知抛物线 经过点A（2，3）、B（0，3）、C（4， ）． （1）求该抛物线的解析式； （2）当x为何值时， ？ 【难度】★★ 【答案】（1） ；（2） ． 【解析】（1）把A（2，3）、B（0，3）、C（4， ）代入二次函数解析式，可得： ，解得 ．所以抛物线的解析式为： ； 方法二：也可以利用AB关于直线 对称，设二次函数解析式为 求解． （2）利用图像性质可得，当抛物线与直线 交于点 ，故 时， ． 【总结】考查学生利用一般式求解二次函数解析式，解三元一次方程组以及根据图像求自变量范围． 例4．已知二次函数的图像经过点（0，3）、（ ，0）、（2， ），且与x轴交于A、 B两点． （1）试确定该二次函数的解析式； （2）判定点P（ ，3）是否在这个图像上，并说明理由； （3）求 的面积． 【难度】★★ 【答案】（1） ；（2）在；（3）6． 【解析】（1）设二次函数为 ，把（0，3）、（ ，0）、（2， ）代入二 次函数解析式，可得： ，解得 ． 所以二次函数的解析式为： ； （2）把 代入解析式，可得： ，所以点P（ ，3）在函数图像上． （3） ，可得 ． 【总结】考查学生利